1. Tập hợp Q các số hữu tỉ
a) Định nghĩa số hữu tỉ
Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số \(\dfrac{a}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{Z},\,b \ne 0.\)
Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là \(\mathbb{Q}\).
b) So sánh hai số hữu tỉ
+ Với hai số hữu tỉ bất kì $x,y$ ta tuôn có hoặc \(x = y\) hoặc \(x < y\) hoặc \(x > y\).
+ Nếu \(x < y\) thì trên trục số x ở bên trái điểm $y$, nếu \(x > y\) thì trên trục số \(x\) ở bên phải điểm \(y\).
+ Số hữu tỉ lớn hơn 0 được gọi là số hữu tỉ dương
+ Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọi là số hữu tỉ âm
+ Số hữu tỉ 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm
2. Cộng-trừ hai số hữu tỉ
a) Qui tắc cộng-trừ số hữu tỉ
Ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ x, y bằng cách viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số.
Với $x = \dfrac{a}{m};\,y = \dfrac{b}{m}\,\left( {a,b,m \in \mathbb{Z},\,m > 0} \right)$ ta có:
\(\begin{array}{l}x + y = \dfrac{a}{m} + \dfrac{b}{m} = \dfrac{{a + b}}{m}\\x - y = \dfrac{a}{m} - \dfrac{b}{m} = \dfrac{{a - b}}{m}\end{array}\)
b) Tính chất
Phép cộng số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng phân số:
Tính chất giao hoán: $x + y = y + x$
Tính chất kết hợp: $\left( {x + y} \right) + z = x + \left( {y + z} \right)$
Cộng với số $0$ : $x + 0 = x$
Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối.
c) Qui tắc “chuyển vế”
Khi chuyển vế một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó.
Với mọi \(x,\,y,\,z \in \mathbb{Q}:\,\,\,x + y = z \Leftrightarrow x = z - y\).
3. Nhân chia hai số hữu tỉ
a) Nhân hai số hữu tỉ
Với \(x = \dfrac{a}{b};\,y = \dfrac{c}{d}\,\left( {b,d \ne 0} \right)\) ta có: \(x.y = \dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d} = \dfrac{{a.c}}{{b.d}}\) .
b) Chia hai số hữu tỉ
Với \(x = \dfrac{a}{b};\,y = \dfrac{c}{d}\,\left( {b,d \ne 0;\,y \ne 0} \right)\) ta có: \(x:y = \dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}.\dfrac{d}{c} = \dfrac{{a.d}}{{b.c}}\) .
Qui tắc: Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ bằng viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc nhân, chia phân số.
c) Tính chất
Phép nhân số hữu tỉ có các tính chất của phép nhân phân số:
Tính chất giao hoán: \(a.b = b.a\)
Tính chất kết hợp: $\left( {a.b} \right).c = a.\left( {b.c} \right)$
Nhân với số 1: \(a.1 = a\)
Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: $a.\left( {b + c} \right) = a.b + a.c$
Mỗi số hữu tỉ khác 0 đều có một số nghịch đảo
Chú ý: Thương của phép chia số hữu tỉ \(x\) cho số hữu tỉ \(y\) \(\left( {y \ne 0} \right)\) gọi là tỉ số của hai số \(x\) và \(y\). Kí hiệu là \(\dfrac{x}{y}\) hay \(x:y\).
4. Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ
Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ $x$, kí hiệu là \(\left| x \right|\) là khoảng cách từ điểm $x$ đến điểm $0$ trên trục số: \(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x \ge 0\\ - x\,{\rm{khi}}\,\,\,x < 0\end{array} \right.\)
Nhận xét: Với mọi \(x \in \mathbb{Q}\) ta luôn có: \(\left| x \right| \ge 0;\,\left| x \right| = \left| { - x} \right|\) và \(\left| x \right| \ge x\).
5. Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân
Để cộng, trừ, nhân, chia số thập phân, ta có thể viết chúng dưới dạng phân số thập phân rồi làm theo quy tắc các phép tính đã biết về phân số.
6. Lũy thừa một số hữu tỉ
a) Lũy thừa với số mũ tự nhiên
Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ $x$ , kí hiệu là \({x^n}\), là tích của $n$ thừa số $x$ ($n$ là một số tự nhiên lớn hơn $1$ ):
\({x^n} = \underbrace {x.x...x}_n\) \(\left( {x \in \mathbb{Q},n \in \mathbb{N},n > 1} \right)\)
Quy ước: \({x^1} = x;\) \({x^0} = 1\) \(\left( {x \ne 0} \right)\)
b) Các công thức lũy thừa
Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số
+ Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ:
\({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\) (với \(x\) là số hữu tỉ)
+ Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia: \({x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\)\(\left( {x \ne 0,m \ge n} \right)\)
Lũy thừa của lũy thừa
Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ: \({\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}\)
Lũy thừa của một tích
Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa: \({\left( {x.y} \right)^n} = {x^n}.{y^n}\)
Lũy thừa của một thương
Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa: \({\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^n} = \dfrac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\)\(\left( {y \ne 0} \right)\)
7. Tỉ lệ thức
a) Định nghĩa tỉ lệ thức
+ Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\)
+ Tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) còn được viết là \(a:b = c:d\)
b) Tính chất tỉ lệ thức
+ Tính chất 1 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)
Nếu \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) thì \(a.d = b.c\)
+ Tính chất 2 (điều kiện để bốn số lập thành tỉ lệ thức):
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\); \(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}\); \(\dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a};\) \(\dfrac{d}{c} = \dfrac{b}{a}\) .
c) Tính chất dãy tỉ số bằng nhau
* Ta có \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c}}{{b + d}} = \dfrac{{a - c}}{{b - d}}\)
* Từ dãy tỉ số bằng nhau \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f}\) ta suy ra:
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \dfrac{{a - c + e}}{{b - d + f}}\)
Với điều kiện các tỉ số đều có nghĩa.
* Mở rộng
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{ma + nc}}{{mb + nd}} = \dfrac{{ma - nc}}{{mb - nd}}$
8. Số thập phân
a) Số thập phân hữu hạn
Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
b) Số thập phân vô hạn tuần hoàn
Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
9. Làm tròn số
Qui ước làm tròn số
Trường hợp 1: Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên bộ phận còn lại
Trường hợp 2: Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cộng thêm 1 vào chữ số cuối cùng của bộ phận còn lại.
10. Số vô tỉ, số thực
a) Định nghĩa số vô tỉ
+ Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
+ Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là $I$.
b) Định nghĩa căn bậc hai
+ Căn bậc hai của một số $a$ không âm là số $x$ sao cho \({x^2} = a.\)
+ Số dương $a$ có đúng hai căn bậc hai là \(\sqrt a \) và \( - \sqrt a \)
+ Số 0 chỉ có một căn bậc hai là số 0: \(\sqrt 0 = 0\)
c) Định nghĩa số thực
+ Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực. Kí hiệu: \(\mathbb{R}\)
+ Nếu $a$ là số thực thì a biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn.
d) Các phép toán
Trong tập hợp số thực \(\mathbb{R}\), ta cũng định nghĩa các phép toán cộng, trừ, nhân chia, lũy thừa và khai căn. Các phép toán trong tập hợp số thực cũng có các tính chất như các phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ.
