I. Đơn thức một biến
Đơn thức một biến (Đơn thức) là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.
Ví dụ: Biểu thức \(4{x^3}\) là một đơn thức trong đó 4 là hệ số, số mũ 3 của x là bậc của đơn thức đó
Chú ý:
+ Một số thực khác $0$ được coi là đơn thức với số mũ của biến bằng 0.
+ Số $0$ được gọi là đơn thức không. Đơn thức này không có bậc.
Ví dụ: 1; \( - \dfrac{3}{4}{x^2}\); \(2y;...\) là các đơn thức
Nhận xét: Với các đơn thức một biến, ta có thể:
+ Cộng (hay trừ) hai đơn thức cùng bậc bằng cách cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên luỹ thừa của biến. Tổng nhận được là một đơn thức. Chẳng hạn:
\[ - 2{x^2} + {x^2} = \left( { - 2 + 1} \right){x^2} = - {x^2}\]
+ Nhân hai đơn thức tuỳ ý bằng cách nhân hai hệ số với nhau và nhân hai luỹ thừa của biến với nhau. Tích nhận được cũng là một đơn thức. Chẳng hạn:
\(\left( {0,5{x^2}} \right).\left( {4x} \right) = \left( {0,5.4} \right).\left( {{x^2}.x} \right) = 2{x^3}\)
II. Khái niệm đa thức một biến
Đa thức là một tổng của những đơn thức.
Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.
Chú ý:
+ Số $0$ cũng được gọi là đa thức không và nó không có bậc.
+ Mỗi đơn thức được coi là đa thức.
+ Ta thường kí hiệu đa thức bằng một chữ cái in hoa.
Ví dụ:
a) \({x^3} - 3;\) \(x - a{x^2} + b{x^3}\) là các đa thức một biến x.
b) \(\dfrac{2}{x} - 5\) không phải là đa thức một biến x.
III. Đa thức một biến thu gọn
Đa thức không chứa hai đơn thức nào cùng bậc là các đa thức thu gọn.
Ví dụ: Thu gọn đa thức \(B = 6{x^3} - 3{x^2} - 4{x^3} + 7\)
Giải
\(\begin{array}{l}B = 6{x^3} - 3{x^2} - 4{x^3} + 7\\ = \left( {6{x^3} - 4{x^3}} \right) - 3{x^2} + 7\\ = 2{x^3} - 3{x^2} + 7\end{array}\)
Kết quả, ta được đa thức thu gọn \(2{x^3} - 3{x^2} + 7\)
IV. Sắp xếp đa thức một biến
Để thuận tiện cho việc tính toán, người ta thường viết đa thức đó thành đa thức thu gọn và sắp xếp các đơn thức của chúng theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.
Ví dụ:
Sắp xếp các hạng tử của đa thức \(P = 5{x^2} - 2x + 1 - 3{x^5}\) theo lũy thừa giảm của biến, ta được:
\(P = - 3{x^5} + 5{x^2} - 2x + 1\).
V. Bậc và các hệ số của một đa thức
Trong một đa thức thu gọn và khác đa thức không:
+ Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức đó.
+ Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất của đa thức đó.
+ Hệ số của hạng tử bậc 0 gọi là hệ số tự do của đa thức đó.
Chú ý
+ Số 0 được coi là đa thức không có bậc.
+ Một số thực khác 0 là đa thức bậc 0.
+ Trong một đa thức thu gọn, hệ số cao nhất phải khác 0 (các hệ số khác có thể bằng 0).
+ Muốn tìm bậc của một đa thức chưa thu gọn, ta phải thu gọn đa thức đó.
Ví dụ: Đa thức \({x^6} - 2{y^5} + {x^4}{y^5} + 3\) có:
+ Bậc là 9
+ Hệ số cao nhất là 1.
+ Hệ số tự do là 3.
VI. Nghiệm của đa thức một biến
Nếu tại \(x = a,\) đa thức $P(x)$ có giá trị bằng $0$ thì ta nói $a$ (hoặc $x = a$) là một nghiệm của đa thức $P(x)$.
Ví dụ: Tìm nghiệm của đa thức \(P(y) = 2y + 6\)
Giải
Từ \(2y + 6 = 0 \)\(\Rightarrow 2y = - 6 \Rightarrow y = - \dfrac{6}{2} = - 3\)
Vậy nghiệm của đa thức \(P(y)\) là $– 3.$
Chú ý: Một đa thức có thể có nhiều nghiệm hoặc không có nghiệm.
