Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \((\alpha ):x - z - 3 = 0\) và điểm \(M(1;\,\,1;\,\,1).\) Gọi \(A\) là điểm thuộc tia \(Oz,\) \(B\) là hình chiếu của \(A\) lên \((\alpha ).\) Biết rằng tam giác \(MAB\) cân tại \(M.\) Diện tích của tam giác \(MAB\) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Gọi $A\left( {0;0;a} \right)\,\,\left( {a > 0} \right),$ vì $AB \bot \,\,mp\,\,\left( \alpha \right)$$ \Rightarrow $ Phương trình đường thẳng $\left( {AB} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = a - t\end{array} \right..$
Mà $B = AB \cap \left( \alpha \right)$$ \Rightarrow \,\,B\left( {t;0;a - t} \right)$ và $B \in \,\,mp\,\,\left( \alpha \right)$$ \Rightarrow $$t - \left( {a - t} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{{a + 3}}{2}.$
Khi đó $B\left( {\dfrac{{a + 3}}{2};0;\dfrac{{a - 3}}{2}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \left( {1;1;1 - a} \right)\\\overrightarrow {BM} = \left( { - \dfrac{{a + 1}}{2};1;\dfrac{{5 - a}}{2}} \right)\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}AM = BM \Leftrightarrow A{M^2} = B{M^2} \Leftrightarrow 2 + {\left( {1 - a} \right)^2} = 1 + \dfrac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - a} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 2 = \dfrac{{2{a^2} - 8a + 26}}{4}\\ \Leftrightarrow 2{a^2} = 18 \Leftrightarrow {a^2} = 9 \Leftrightarrow a = 3\,\,\left( {a > 0} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \left( {1;1; - 2} \right)\\\overrightarrow {BM} = \left( { - 2;1;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} } \right] = \left( {3;3;3} \right)\end{array}$
Vậy diện tích tam giác $MAB$ là ${S_{\Delta \,MAB}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} } \right]} \right| = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
Hướng dẫn giải:
+) Gọi $A\left( {0;0;a} \right),\,\,\left( {a > 0} \right)$ viết phương trình đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\).
+) $B = AB \cap \left( \alpha \right)$, tìm tọa độ điểm B theo a.
+) Tam giác MAB cân tại M \( \Rightarrow MA = MB\), tìm a.
+) Sử dụng công thức tính diện tích ${S_{\Delta \,MAB}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} } \right]} \right|$.
