Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\, + t\\y = 2 - t\\z = t\end{array} \right.,$ $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2t'\\y = 1 + t'\\z = 2 + t'\end{array} \right..$ Đường thẳng $\Delta $ cắt $d,\,\,d'$ lần lượt tại các điểm $A,\,\,B$ thỏa mãn độ dài đoạn thẳng $AB$ nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng $\Delta $ là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Để $AB$ nhỏ nhất $ \Leftrightarrow \,\,AB$ là đoạn vuông góc chung của $d,\,\,d'.$
Gọi $A \in d \Rightarrow \,\,A\left( {1 + a;2 - a;a} \right)$ và $B \in d' \Rightarrow \,\,B\left( {2b;1 + b;2 + b} \right)$$ \Rightarrow $$\overrightarrow {AB} = \left( {2b - a - 1;a + b - 1;b - a + 2} \right).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot d\\AB \bot d'\end{array} \right. \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .{{\vec u}_d} = 0\\\overrightarrow {AB} .{{\vec u}_{d'}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}2b - a - 1 - a - b + 1 + b - a + 2 = 0\\2\left( {2b - a - 1} \right) + a + b - 1 + b - a + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} - \,3a + 2b + 2 = 0\\ - \,2a + 6b - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = \dfrac{1}{2}\end{array} \right..$
Vậy $A\left( {2;1;1} \right),\,\,B\left( {1;\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2}} \right) \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - \,1;\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right) = - \,\dfrac{1}{2}\left( {2; - \,1; - \,3} \right) \Rightarrow \,\,\left( {AB} \right):\dfrac{{x - 2}}{{ - \,2}} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{3}.$
Hướng dẫn giải:
Đoạn thẳng AB nhỏ nhất khi AB chính là độ dài đoạn vuông góc chung của d và d’
