Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - m}}{2}\) và mặt cầu \((S):{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 9.\) Tìm \(m\) để đường thẳng \(d\) cắt mặt cầu \((S)\) tại hai điểm phân biệt $E,\,\,F$ sao cho độ dài đoạn thẳng $EF$ lớn nhất
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có $E{F_{\max }} \Leftrightarrow d{\left( {I;\left( d \right)} \right)_{\min }} = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {I{M_0}} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}{\;_{\min }}$ (trong đó điểm ${M_0}\left( {1; - 1;m} \right)$)
Ta có: $d\left( {I;\left( d \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {I{M_0}} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}\; = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {m + 2} \right)}^2} + {{\left( {m - 2} \right)}^2} + 4} }}{{\sqrt {1 + 1 + 4} }} = \dfrac{{\sqrt {2{m^2} + 12} }}{{\sqrt 6 }}$
Vì $2{m^2} \ge 0$ suy ra $d\left( {I;\left( d \right)} \right) \le \dfrac{{\sqrt {12} }}{{\sqrt 6 }} = \sqrt 2 \Rightarrow \,\,{d_{\min }} = \sqrt 2 < R = 3$ khi $m = 0.$
Hướng dẫn giải:
Đưa về bài toán đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt E, F. Độ dài EF lớn nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d nhỏ nhất. Dựa vào công thức tính khoảng cách, khảo sát hàm số tìm m để khoảng cách min
