Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) cạnh bên \(SA\, = \,2a\) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(SD.\) Tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng \((AMC)\) và \((SBC)\) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Gắn hệ tọa độ $Oxyz,$ với $A\left( {0;0;0} \right),\,\,S\left( {0;0;2} \right),\,\,D\left( {0;1;0} \right),\,\,B\left( {1;0;0} \right),\,\,C\left( {1;1;0} \right)$.
Tọa độ trung điểm $M$ của $SD$ là $M\left( {0;\dfrac{1}{2};1} \right).$
$\overrightarrow {SB} = \left( {1;0; - 2} \right),\overrightarrow {SC} = \left( {1;1; - 2} \right)$
Ta có $\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {2;0;1} \right)$
$\overrightarrow {AM} = \left( {0;\frac{1}{2};1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;1;0} \right)$
$\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - \,1;1; - \,\dfrac{1}{2}} \right).$
Do đó
$\cos (\widehat {\left( {AMC} \right);\left( {SBC} \right)}) = \dfrac{{\left| {{{\vec n}_{\left( {AMC} \right)}}.{{\vec n}_{\left( {SBC} \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_{\left( {AMC} \right)}}} \right|.\left| {.{{\vec n}_{\left( {SBC} \right)}}} \right|}} $
$ = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 0.1 + 1.\left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$
$ \Rightarrow \tan \left( {\widehat {\left( {AMC} \right),\left( {SBC} \right)}} \right) = \sqrt {\frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)}^2}}} - 1} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$
Hướng dẫn giải:
Tọa độ hóa bằng cách gắn hệ tọa độ Oxyz, áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
