Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian Oxyz cho điểm \(M\left( {1;3; - 2} \right)\). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua M và cắt các trục \(x'Ox;y'Oy,z'Oz\) lần lượt tại ba điểm phân biệt \(A,B,C\) sao cho \(OA = OB = OC \ne 0\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\), ta có: \(OA = \left| a \right|;\,\,OB = \left| b \right|;\,\,OC = \left| c \right|\)
\(OA = OB = OC \ne 0 \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right| \ne 0\)
TH1: \(a = b = c \Rightarrow \left( P \right):\,\,\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{a} + \dfrac{z}{a} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - a = 0\)
\(M \in \left( {ABC} \right) \Rightarrow 2 - a = 0 \Leftrightarrow a = 2 \Rightarrow \left( P \right):\,\,x + y + z - 2 = 0\)
TH2: \(a = b = - c \Leftrightarrow \left( P \right):\,\,\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{a} + \dfrac{z}{{ - a}} = 1 \Leftrightarrow x + y - z - a = 0\)
\(M \in \left( {ABC} \right) \Rightarrow 6 - a = 0 \Leftrightarrow a = 6 \Rightarrow \left( P \right):\,\,x + y - z - 6 = 0\)
TH3: \(a = - b = c \Leftrightarrow \left( P \right):\,\,\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{{ - a}} + \dfrac{z}{a} = 1 \Leftrightarrow x - y + z - a = 0\)
\(M \in \left( {ABC} \right) \Rightarrow - 4 - a = 0 \Leftrightarrow a = - 4 \Rightarrow \left( P \right):\,\,x - y + z + 4 = 0\)
TH4: \( - a = b = c \Rightarrow \left( P \right):\,\,\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{{ - a}} + \dfrac{z}{{ - a}} = 1 \Leftrightarrow x - y - z - a = 0\)
\(M \in \left( {ABC} \right) \Rightarrow 0 - a = 0 \Leftrightarrow a = 0\) => Loại.
Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hướng dẫn giải:
Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right) \Rightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|\), chia các trường hợp để phá trị tuyệt đối và viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) dạng đoạn chắn.
