Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nếu:

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y=\cos x$ ?

Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh $Ox$ của hình giới hạn bởi trục $Ox$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2} - ax\,\,\,\,\left( {a > 0} \right)$ bằng $V = 2.$ Khẳng định nào dưới đây đúng ?

Biết $\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}=\frac{2}{3}\left( \sqrt{a}-b \right)$ với $a,\,\,b$ là các số nguyên dương. Tính $T=a+b.$ 

Kết quả của tích phân $\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)dx}$ được viết dưới dạng $a + b\ln 2$ với $a,b \in Q$. Khi đó $a + b$ có giá trị là:

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}\sqrt {4 + {x^3}}$ là:

Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và $k$ là một số thực trên $R$. Cho các công thức:

a) $\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0$

b) $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx}$ 

c) $\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$

Số công thức sai là:

Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{a}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+bx{{e}^{x}}$. Tìm a và b biết rằng $f'\left( 0 \right)=-22$ và $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=5$.

Biết $\int {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 2x\ln \left( {3x - 1} \right) + C}$ với $x \in \left( {\dfrac{1}{9}; + \infty } \right)$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Cho hàm số $y = f(x)$thỏa mãn hệ thức $\int {f\left( x \right)\sin xdx}  =  - f(x).\cos x + \int {{\pi ^x}\cos xdx}.$ Hỏi $y = f\left( x \right)$ là hàm số nào trong các hàm số sau: 

Cho hai hàm số $y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)$ là các hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;2} \right],$ có $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 4,\,\,\int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  =  - \,2$ và $\int\limits_1^2 {g\left( t \right){\rm{d}}t}  = 1.$ Tính $I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$  thỏa mãn $\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx}  = 10$  và $2f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2$. Tính $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}$

Cho hai hàm số $f,\,\,g$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và số thực $k$ tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trong đoạn $\left[ 1;e \right]$, biết $\int\limits_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x}dx}=1,\,\,f(e)=2$. Tích phân $\int\limits_{1}^{e}{f'(x)\ln xdx}=?$

Tích phân $I = \int\limits_1^2 {{x^5}} dx$ có giá trị là:

Biết $\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=a\ln 5+b\ln 3+c}$ trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị biểu thức $T=a+b+c$ là

 Cho $\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{{{x}^{5}}+{{x}^{3}}}}=a.\ln 5+b.\ln 2+c$ với $a,\,\,b,\,\,c$ là các số hữu tỉ. Giá trị của $a+2b+4c$ bằng

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}\sqrt {4 + {x^3}}$ là:

Nếu $t = {x^2}$ thì:

Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và $k$ là một số thực trên $R$. Cho các công thức:

a) $\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0$

b) $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx}$ 

c) $\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$

Số công thức sai là:

Hàm số $y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

Cho hàm số $y = f(x)$thỏa mãn hệ thức $\int {f\left( x \right)\sin xdx}  =  - f(x).\cos x + \int {{\pi ^x}\cos xdx}.$ Hỏi $y = f\left( x \right)$ là hàm số nào trong các hàm số sau: 

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Chọn mệnh đề sai?

Tích phân $\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}$ bằng

Cho hai hàm số $y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)$ là các hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;2} \right],$ có $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 4,\,\,\int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  =  - \,2$ và $\int\limits_1^2 {g\left( t \right){\rm{d}}t}  = 1.$ Tính $I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} .$

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị bằng $2$?

Biết rằng $F\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^{2x}}\cos 3x$, trong đó a, b, c là các hằng số. Giá trị của tổng $S = a + b$ thỏa mãn:

Tích phân $\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}}\,\text{d}x$ bằng

Cho $A = \int {{x^5}\sqrt {1 + {x^2}} dx = a} {t^7} + b{t^5} + c{t^3} + C$ , với $t = \sqrt {1 + {x^2}}$. Tính $A = a - b - c$

Biết $F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}$ là nguyên hàm của hàm số $y = \left( {2x + 3} \right).{e^x}$. Khi đó $b - a$ là

Cho $I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - {m^2}} \right)dx}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để $I + 3 \ge 0$?

Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì tích phân $I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x}$ trở thành

Tính $I = \int {\cos \sqrt x dx}$ ta được:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $R$  và $\int\limits_{ - 2}^4 {f\left( x \right)} dx{\rm{ = 2}}$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?

Cho $I=\int{{{x}^{3}}\sqrt{{{x}^{2}}+5}dx}$, đặt $u=\sqrt{{{x}^{2}}+5}$ khi đó viết $I$ theo $u$ và $du$ ta được:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)$

Tích phân $\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}$ bằng

Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$. Với $C \ne 0$ là một hằng số bất kì, hàm nào sau đây cũng là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$?