Cho tam giác $ABC$ biết $A\left( {2;4; - 3} \right)$ và trọng tâm $G$ của tam giác có toạ độ là $G\left( {2;1;0} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}$ có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ  $Oxyz$, cho hai điểm  $A(0;2; - 1)$ , $B(2;0;1)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ sao cho :$M{A^2} + M{B^2}$ đạt giá trị bé nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-\,2}$ đi qua điểm

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A\left( { - 3,1,2} \right),{\rm{ }}B\left( {1, - 1,0} \right)$. Phương trình mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính có tọa độ tâm là:

 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\,\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-2}{1}$. Đường thẳng d có một VTCP là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x  +  4y  -  4z  -  m  =  0}}$ có bán kính $R = 5$. Tìm giá trị của $m$?

Gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng đi qua $M(1;-1;2)$ và chứa trục Ox. Điểm nào trong các điểm sau đây thuộc mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$?       

Xét đường thẳng $d$ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\end{array} \right.$  và mặt cầu $(S)$ có phương trình  ${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4$. Nhận xét nào sau đây đúng.

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu $\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-20=0$ và mặt phẳng $\left( \alpha  \right):\,\,x+2y-2z+7=0$ cắt nhau theo một đường tròn có chu vi bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z = 2 + t\end{array} \right.$. Đường thẳng $d$ đi qua các điểm nào sau đây? 

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( { - 3;2;1} \right)$ và $B\left( {5; - 4;1} \right)$. Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu ${(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 4)^2} = 20$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1;1;0} \right)$ và $B\left( {0;1;2} \right)$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB}$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M$ thỏa mãn hệ thức  $\overrightarrow {OM}  = 2\vec i + \vec j$. Tọa độ của điểm  $M$ là

Cho hai véc tơ $\overrightarrow u  = \left( {m;2;1} \right)$ và $\overrightarrow v  = \left( {0;n;p} \right)$. Biết $\overrightarrow u  = \overrightarrow v$, giá trị $T = m - n + p$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow a  = \left( {1;1 - 2} \right)$; $\overrightarrow b  = \left( {2;1; - 1} \right)$. Tính  $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

Cho $\overrightarrow a  = \left( {5;1;3} \right),\overrightarrow b  = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)$ là cặp VTCP của mặt phẳng $\left( P \right)$. Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

Cho điểm $A(0 ; 8 ; 2)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình $(S):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 72$ và điểm $B(1 ; 1 ; -9)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A$ tiếp xúc với $(S)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ là lớn nhất. Giả sử $\overrightarrow n  = \left( {1;m;n} \right)$ là véctơ pháp tuyến của $(P)$. Lúc đó:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y = 0$. Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng qua $A\left( { - 1;3; - 4} \right)$ cắt trục $Ox$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phươn trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho $T = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\\z = 4\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = 3 - t'\\z = 0\end{array} \right.$ . Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng $d$ và $d'$ là: 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0$. Giả sử $M \in \left( P \right)$ và $N \in \left( S \right)$  sao cho $\overrightarrow {MN}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow u  = \left( {1;0;1} \right)$ và khoảng cách $MN$ lớn nhất. Tính $MN$ 

Trong không gian với hệ tọa độ  $Oxyz$, cho các điểm  $A\left( {1,2, - 4} \right);{\rm{ }}B\left( {1, - 3,1} \right){\rm{ }} và {\rm{ }}C\left( {2,2,3} \right)$. Mặt cầu $(S)$ đi qua  $A,B,C$ và có tâm thuộc mặt phẳng $(xOy)$ có bán kính là :

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho $d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{y - 3}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 2}}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - 3y + z - 4 = 0$. Phương trình hình chiếu của $d$ trên $\left( P \right)$ là:

Cho hai điểm $A\left( {1; - 2;0} \right),B\left( {0;1;1} \right)$, độ dài đường cao $OH$ của tam giác $OAB$ là:

 Trong không gian Oxyz, cho $M\left( -1;3;4 \right)$, mặt phẳng (P) đi qua M cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho M là trực tâm $\Delta ABC$. Thể tích khối tứ diện OABC bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {2; - 1;3} \right),C\left( { - 3;5;1} \right)$. Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 6z + 5 = 0$. Tiếp diện của $(S)$ tại điểm $M(-1;2;0)$ có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ  $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình ${(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4$. Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu $(S)$ qua trục $Oz$.

Điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow i  - 3\overrightarrow j  + \overrightarrow k$ có tọa độ:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}$  và điểm $A\left( {5,4, - 2} \right)$. Phương trình mặt cầu đi qua điểm $A$ và có tâm là giao điểm của $d$ với mặt phẳng $(Oxy)$ là

Cho $\overrightarrow a  = \left( {5;1;3} \right),\overrightarrow b  = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)$ là cặp VTCP của mặt phẳng $\left( P \right)$. Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):4x + y - 2 = 0$ . Đường thẳng nào trong các đường thẳng sau vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x - y + 3 = 0$. Vec-tơ nào sau đây không là vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ .

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z =  - 2 + t\end{array} \right.$

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {0;0;2} \right)$, $B\left( {1;0;0} \right)$, $C\left( {2;2;0} \right)$ và $D\left( {0;m;0} \right)$. Điều kiện cần và đủ của $m$ để khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng $2$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho hình bình hành $ABCD$ với  $A\left( {0,1,1} \right),{\rm{ }}B\left( { - 2,3,1} \right)$ và $C\left( {4, - 3,1} \right)$. Phương trình nào không phải là phương trình tham số của đường chéo $BD$.

Hai véc tơ không cùng phương $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ được gọi là cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của $\left( P \right)$ nếu giá của chúng:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 4y + 4{\rm{z}} - 16 = 0$ và đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{2} = \dfrac{z}{2}$. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$.

Cho đường thẳng $d$ có phương trình $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $(P):x + y + z - 10 = 0$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M$ thỏa mãn hệ thức  $\overrightarrow {OM}  = 2\vec i + \vec j$. Tọa độ của điểm  $M$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {2,4, - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {0, - 2,1} \right)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.$. Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu đi qua $A,B$ và có tâm thuộc đường thẳng $d$. Đường kính mặt cầu $\left( S \right)$ là

Trong không gian với hệ tọa độ  $Oxyz$, cho các điểm  $A\left( {1,2, - 4} \right);{\rm{ }}B\left( {1, - 3,1} \right){\rm{ }} và {\rm{ }}C\left( {2,2,3} \right)$. Mặt cầu $(S)$ đi qua  $A,B,C$ và có tâm thuộc mặt phẳng $(xOy)$ có bán kính là :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A\left( { - 1; - 2;4} \right)$, $B\left( { - 4; - 2;0} \right)$, $C\left( {3; - 2;1} \right)$ và $D\left( {1;1;1} \right)$. Độ dài đường cao của tứ diện $ABCD$ kẻ từ đỉnh $D$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho sáu điểm $A\left( {1;2;3} \right)$, $B\left( {2; - 1;1} \right)$, $C\left( {3;3; - 3} \right)$, $A',\,\,B',\,\,C'$ thỏa mãn $\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {B'B}  + \overrightarrow {C'C}  = \overrightarrow 0$. Nếu $G'$ là trọng tâm tam giác $A'B'C'$ thì $G'$ có tọa độ là:

Hai véc tơ $\overrightarrow u  = \left( {a;1;b} \right),\overrightarrow v  = \left( { - 2;2;c} \right)$ cùng phương thì:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vector $\vec a = \left( {2;3; - 5} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b = \left( {0; - 3;4} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec c = \left( {1; - 2;3} \right)$. Tọa độ vector $\vec n = 3\vec a + 2\vec b - \vec c$ là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.