Đổi biến $u = \ln x$ thì tích phân $I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx}$ thành:

Cho hình $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = 1$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ được tính bởi:

Cho parabol $\left( P \right)$ có đồ thị như hình vẽ:

Tính diện tích giới hạn bởi $\left( P \right)$ và trục hoành.

Cho tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x}  = \dfrac{{m - \pi }}{{m + \pi }}$, giá trị của $m$ bằng :

 Tìm thể tích $V$ của vật tròn xoay sinh ra bởi đường tròn ${{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4$ khi quay quanh trục $Ox.$

 Biết $\int\limits_{0}^{1}{\frac{\pi {{x}^{3}}+{{2}^{x}}+\text{e}{{x}^{3}}{{.2}^{x}}}{\pi +\text{e}{{.2}^{x}}}\text{d}x}=\frac{1}{m}+\frac{1}{\text{e}\ln n}\ln \left( p+\frac{\text{e}}{\text{e}+\pi } \right)$ với $m$, $n$, $p$ là các số nguyên dương. Tính tổng $S=m+n+p$.

 Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x{{e}^{x}},\ \ y=0,\ x=0,\ x=1$ xung quanh trục $Ox$ là:  

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),~$trục hoành và hai đường thẳng $x =  - 1,x = 2$ (như hình vẽ). Đặt $a=\underset{-1}{\overset{0}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx,~b=\underset{0}{\overset{2}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx.$  Mệnh đề nào sau đây đúng?

Kết quả tích phân $I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{x\left( {{{\ln }^2}x + 1} \right)}}dx}$ có dạng $I = a\ln 2 + b$ với $a,b \in Q$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Nếu $\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {4 - {e^{ -{\frac{x}{2}}}}} \right)dx}  = K - 2e$ thì giá trị của $K$ là

Cho $F(x) =  - \dfrac{1}{{3{x^3}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\dfrac{{f(x)}}{x}$. Tìm nguyên hàm của hàm số $f'(x)\ln x$.

Cho nguyên hàm $\int {x\sin xdx}$. Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin xdx\end{array} \right.$ thì:

Cho hàm số $f\left( x \right) = {e^{ - 2018x + 2017}}$. Gọi $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ mà $F\left( 1 \right) = e$. Chọn mệnh đề đúng:

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và có đồ thị như hình bên. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục $Ox.$ Quay hình phẳng $D$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích $V$ được xác định theo công thức

Biết $\int {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 2x\ln \left( {3x - 1} \right) + C}$ với $x \in \left( {\dfrac{1}{9}; + \infty } \right)$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Nếu $t = u\left( x \right)$ thì:

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = {x^2} - 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x =  - 1;x =  - 3$ là:

Tích phân $I = \int\limits_1^2 {{x^5}} dx$ có giá trị là:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^3} - x;y = 2x$ và các đường thẳng $x =  - 1;x = 1$ được xác định bởi công thức:

Cho hai hàm số $f,\,\,g$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và số thực $k$ tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

Cho hai hàm số $y = {f_1}\left( x \right)$ và $y = {f_2}\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $S$ là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng $x = a,x = b$. Thể tích $V$ của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay $S$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào sau đây ? 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ là hàm số chẵn trên $\mathbb{R}$ và $a$ là một số thực dương. Chọn kết luận đúng:

Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số$f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}$ thoả mãn $F\left( 2 \right) = 0$. Khi đó phương trình $F\left( x \right) = x$ có nghiệm là

Hàm số nào không là nguyên hàm của hàm số $y = 3{x^4}$?

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $R$  và $\int\limits_{ - 2}^4 {f\left( x \right)} dx{\rm{ = 2}}$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?

Chọn mệnh đề đúng:

Nếu $f\left( 1 \right) = 12,f'\left( x \right)$ liên tục và $\int\limits_1^4 {f'\left( x \right)dx}  = 17$ thì giá trị của $f\left( 4 \right)$ bằng:

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=2x+\sin 2x$ là:

Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn  có phương trình ${x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1$ khi quanh trục $Ox.$

Cho hàm số $y=f(x)$ có $f'(x)$ liên tục trên nửa khoảng $\left[ 0;+\infty  \right)$ thỏa mãn $3f(x)+f'(x)=\sqrt{1+3{{e}^{-2x}}}$ biết $f(0)=\frac{11}{3}$. Giá trị $f\left( \frac{1}{2}\ln 6 \right)$ bằng

Biết hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{{\ln x}}{{x\sqrt {{{\ln }^2}x + 3} }}$ có đồ thị đi qua điểm $\left( {e;2016} \right)$. Khi đó giá trị $F\left( 1 \right)$ là

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y={{\text{e}}^{x}}$, trục hoành và các đường thẳng $x=0,x=1$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng bao nhiêu?

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),~$trục hoành và hai đường thẳng $x =  - 1,x = 2$ (như hình vẽ). Đặt $a=\underset{-1}{\overset{0}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx,~b=\underset{0}{\overset{2}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx.$  Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tìm $a$ biết $I = \int\limits_{ - 1}^2 {\dfrac{{{e^x}dx}}{{2 + {e^x}}}}  = \ln \dfrac{{ae + {e^3}}}{{ae + b}}$ với $a, b$ là các số nguyên dương.

Cho hai tích phân $I = \int\limits_0^2 {{x^3}dx}$, $J = \int\limits_0^2 {xdx}$. Tìm mối quan hệ giữa $I$ và $J$

Kết quả của tích phân $\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)dx}$ được viết dưới dạng $a + b\ln 2$ với $a,b \in Q$. Khi đó $a + b$ có giá trị là:

Tính $I = \int {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx}$ ta được:

Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}$. Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ và đồ thị hàm số $y = F\left( x \right)$ đi qua $M\left( {\dfrac{\pi }{3};0} \right)$ thì  là:

Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}$ và $\int {f'(x)} dx = (ax + b){e^x} + c$ với $a, b, c$ là các hằng số. Chọn mệnh đề đúng:

Cho nguyên hàm $I = \int {\dfrac{{6{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx}$ . Giả sử đặt $u = \sqrt {3\tan x + 1}$ thì ta được:

Trong không gian $Oxyz$, cho vật thể được giới hạn bởi 2 mặt phẳng $(P),\,\,(Q)$ vuông góc với $Ox$ lần lượt tại $x = a,\,\,x = b,\,\,(a < b)$. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$, $(a \le x \le b)$ cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là $S(x)$, với $y = S(x)$ là hàm số liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$. Thể tích $V$ của vật thế đó được tính theo công thức:

Chọn mệnh đề đúng:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 1;\ 3 \right]$ , trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=1,\ \ x=3$ có diện tích là:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{5}^{2x}}.$

Cho tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {8 + \cos x} dx}$. Đặt $u = 8 + \cos x$ thì kết quả nào sau đây là đúng?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^3} - x;y = 2x$ và các đường thẳng $x =  - 1;x = 1$ được xác định bởi công thức:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ có nguyên hàm trên $\left( {a;b} \right)$  đồng thời thỏa mãn $f\left( a \right) = f\left( b \right)$. Lựa chọn phương án đúng:

Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác $2$?

Tính tích phân $I = \int\limits_{\ln 2}^{\ln 5} {\dfrac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx}$ bằng phương pháp đổi biến số $u = \sqrt {{e^x} - 1}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\left[ {1;4} \right]$ và $f(1) = 2,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} f(4) = 10$. Giá trị của $I = \int\limits_1^4 {f'(x)dx}$ là