Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn có phương trình ${x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1$ khi quanh trục $Ox.$
Trả lời bởi giáo viên
Xét $\left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1$ có tâm $I\left( {0;2} \right),$ bán kính $R = 1.$ Như vậy
Nửa $\left( C \right)$ trên ứng với $2 \le y \le 3$ có phương trình $y = {f_1}\left( x \right) = 2 + \sqrt {1 - {x^2}} $ với $x \in \left[ { - \,1;1} \right].$
Nửa $\left( C \right)$ dưới ứng với $1 \le y \le 2$ có phương trình $y = {f_2}\left( x \right) = 2 - \sqrt {1 - {x^2}} $ với $x \in \left[ { - \,1;1} \right].$
Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là
$V = \pi \int\limits_{ - \,1}^1 {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2} - {{\left( {2 - \sqrt {1 - {x^2}}} \right)}^2}} \right]\,{\rm{d}}x} = 8\pi \int\limits_{ - \,1}^1 {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x} .$
Đặt $x = \sin t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = \cos t\,{\rm{d}}t$ và đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = - \,1\, \Rightarrow \,t = - \dfrac{\pi }{2}\\x = 1\, \Rightarrow \,t = \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right..$
Khi đó $V = 8\pi \int\limits_{ - \,\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {{{\cos }^2}t} .\cos t\,{\rm{d}}t} = 4\pi \int\limits_{ - \,\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)\,{\rm{d}}t} = 4\pi \left. {\left( {t + \dfrac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_{ - \,\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} = 4{\pi ^2}.$
Hướng dẫn giải:
Rút các hàm số theo biến x: \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\).
Xác định các đường giới hạn.
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),x = a,x = b\) quanh trục Ox là: $V = \pi .\int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} .$