Cho hàm số $y = f(x)$thỏa mãn hệ thức $\int {f\left( x \right)\sin xdx}  =  - f(x).\cos x + \int {{\pi ^x}\cos xdx}.$ Hỏi $y = f\left( x \right)$ là hàm số nào trong các hàm số sau: 

Tích phân $I = \int\limits_1^2 {{x^5}} dx$ có giá trị là:

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trong đoạn $\left[ 1;e \right]$, biết $\int\limits_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x}dx}=1,\,\,f(e)=2$. Tích phân $\int\limits_{1}^{e}{f'(x)\ln xdx}=?$

Cho hai hàm số $f,\,\,g$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và số thực $k$ tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$  thỏa mãn $\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx}  = 10$  và $2f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2$. Tính $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}$

Cho hai hàm số $y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)$ là các hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;2} \right],$ có $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 4,\,\,\int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  =  - \,2$ và $\int\limits_1^2 {g\left( t \right){\rm{d}}t}  = 1.$ Tính $I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} .$

Biết $\int {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 2x\ln \left( {3x - 1} \right) + C}$ với $x \in \left( {\dfrac{1}{9}; + \infty } \right)$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.