Biết \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}=\frac{2}{3}\left( \sqrt{a}-b \right)\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên dương. Tính \(T=a+b.\)
Trả lời bởi giáo viên
Ta có \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{{{\left( \sqrt{x+1} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}}\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)\,\text{d}x}=\left. \frac{2}{3}\left[ \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}-\sqrt{{{x}^{3}}} \right] \right|_{0}^{1}=\frac{4}{3}\left( \sqrt{2}-1 \right).\)
Mặt khác \(I=\frac{2}{3}\left( \sqrt{a}-b \right)=\frac{4}{3}\left( \sqrt{2}-1 \right)=\frac{2}{3}\left( \sqrt{8}-2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=8 \\ & b=2 \\ \end{align} \right..\)
Vậy \(T=a+b=8+2=10.\)
Hướng dẫn giải:
Nhân liên hợp, bỏ mẫu số đưa về tìm nguyên hàm của hàm chứa căn thức cơ bản