Đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều năm 2022 - 2023 có đáp án (Đề 4)

Bộ sách: Cánh diều – Toán

Đề kiểm tra cuối học kì 1 năm học 2022 – 2023

ĐỀ SỐ 4

A. Ma trận đề kiểm tra cuối học kỳ 1

Lưu ý:

- Các câu hỏi ở cấp độ nhận biết và thông hiểu là các câu hỏi trắc nghiệm khách quan 4 lựa chọn, trong đó có duy nhất 1 lựa chọn đúng.

- Các câu hỏi ở cấp độ vận dụng và vận dụng cao là các câu hỏi tự luận.

- Số điểm tính cho 1 câu trắc nghiệm là 0,2 điểm/câu; số điểm của câu tự luận được quy định trong hướng dẫn chấm nhưng phải tương ứng với tỉ lệ điểm được quy định trong ma trận.

BẢNG ĐẶC TẢ KĨ THUẬT ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ 1

B. Đề kiểm tra cuối học kỳ 1

ĐỀ SỐ 4

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1. Cho hai mệnh đề

: “ là số tự nhiên chẵn”, : “ chia hết cho 2”.

Mệnh đề được phát biểu là

A. “Nếu chia hết cho 2 thì là số tự nhiên chẵn”;

B. “Nếu là số tự nhiên chẵn thì chia hết cho 2”;

C. “ là số tự nhiên chẵn chia hết cho 2”;

D. “ là số tự nhiên thì chẵn và chia hết cho 2”.

Câu 2. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

A. Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó có hai đường trung tuyến bằng nhau và một góc bằng ;

B. Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương hai cạnh còn lại;

C. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông;

D. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng nhau.

Câu 3. Cho hai tập hợp và . Tập hợp là

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 4. Dạng liệt kê của tập hợp là:

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 5. Bất phương trình nào sau đây nhận là một nghiệm?

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 6. Một gian hàng trưng bày giường và tủ quần áo rộng 95 m². Diện tích để kê một chiếc giường là 3,2 m², một chiếc tủ quần áo là 1,6 m². Gọi là số chiếc giường và là số chiếc tủ quần áo được kê. Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho phần mặt sàn để kê giường và tủ quần áo biết diện tích mặt sàn dành cho lưu thông tối thiểu là 15 m².

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 7. Hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 8. Cho hệ bất phương trình . Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình trên?

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 9. Hàm số mô tả sự phụ thuộc của số tiền (đồng) phải chi trả và số bút (cái) cần mua của bạn Lan với giá tiền một chiếc bút là 5000 đồng là

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 10. Đồ thị hàm số được cho bởi hình dưới:

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

A. ; B. ; C.; D. .

Câu 11. Giá trị của hàm số tại là

A. 2023; B. 2022; C. 0; D. 1.

Câu 12. Khẳng định nào về đồ thị hàm số với là đúng ?

A. Đồ thị là một đường thẳng;

B. Đồ thị là một đường parabol có bề lõm hướng lên trên;

C. Đồ thị là một đường parabol có bề lõm hướng xuống dưới;

D. Đồ thị song song với trục hoành.

Câu 13. Trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai với là

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 14. Hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm , và là

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 15. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Tam thức bậc hai (đối với ) là biểu thức có dạng , trong đó là những số tự nhiên cho trước;

B. Tam thức bậc hai (đối với ) là biểu thức có dạng , trong đó là những số tự nhiên cho trước (với );

C. Tam thức bậc hai (đối với ) là biểu thức có dạng , trong đó là những số thực cho trước (với );

D. Tam thức bậc hai (đối với ) là biểu thức có dạng , trong đó là những số nguyên cho trước (với ).

Câu 16. Cho tam thức bậc hai (với ), khi nào thì cùng dấu với hệ số với mọi số thực ?

A. Khi ; B. Khi ; C. Khi ; D. Khi .

Câu 17. Tam thức bậc hai mang dấu âm trên khoảng nào sau đây ?

A. ; B. ;

C. ; D. Các đáp án trên đều sai.

Câu 18. Bất phương trình nào dưới đây là bất phương trình bậc hai một ẩn?

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình là

A. ; B. ; C.; D..

Câu 20. Một nghiệm của phương trình là

A.; B.;

C. ; D. Tất cả các đáp án trên đều sai.

Câu 21. Cô giáo yêu cầu bốn bạn Lan, Hoa, Hiếu, Hùng dự đoán số nghiệm của phương trình . Lan dự đoán phương trình có 1 nghiệm, Hoa dự đoán phương trình vô nghiệm, Hiếu dự đoán phương trình có 2 nghiệm, Hùng dự đoán phương trình có 3 nghiệm. Bạn nào dự đoán đúng ?

A. Lan; B. Hoa; C. Hiếu; D. Hùng.

Câu 22. Cho tam giác với . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 23. Cho tam giác vuông cân tại . Khi đó bằng

A. 0; B. ; C. ; D. 1.

Câu 24. Cho tam giác có . Độ dài cạnh là

A. 2; B. 4; C. 12; D. 20.

Câu 25. Cho biết Giá trị của bằng bao nhiêu ?

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 26. Cho tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính và. Độ dài cạnh bằng

A. 6; B. 12; C. ; D. 24.

Câu 27. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương;

B. Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng;

C. Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối;

D. Vectơ là đoạn thẳng có hướng.

Câu 28. Cho tam giác đều . Hãy chỉ ra đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 29. Gọi là tâm hình bình hành . Đẳng thức nào sau đây sai?

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 30. Cho tam giác vuông cân đỉnh , . Độ dài của là

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 31. Gọi là trọng tâm của tam giác là trung điểm của cạnh . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. ;

B. với là điểm bất kỳ;

C. ;

D. .

Câu 32. Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ dưới?

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 33. Cho hai vectơ và khác vectơ . Tích vô hướng của hai vectơ và là một số thực được xác định bởi

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 34. Tam giác vuông ở và có Tính

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 35. Cho tam giác vuông tại có , . Tích vô hướng bằng

A. 81; B. 91; C. 56; D. 76.

II. Tự luận (3 điểm)

Bài 1. (1 điểm) Bác Trung có một tấm lưới dài 30 m. Bác muốn dùng tấm lưới này rào chắn 3 mặt áp lên bờ tường của khu vườn nhà mình thành một mảnh đất hình chữ nhật để nuôi gà. Hỏi hai cột góc hàng rào cần phải cắm cách bờ tường bao xa để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn .

Bài 2. (1 điểm) Một người đi dọc bờ biển từ vị trí đến vị trí và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ vị trí tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là và . Biết khoảng cách giữa hai vị trí và là 20 m. Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Bài 3. (1 điểm) Cho tam giác có . Trung tuyến vuông góc với phân giác trong và . Tính .

-----HẾT-----

C. Đáp án và hướng dẫn giải đề kiểm tra cuối học kỳ 1

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 4

I. Bảng đáp án trắc nghiệm

Câu 1.

Mệnh đề được phát biểu: “Nếu thì ”.

Vậy với : “ là số tự nhiên chẵn”, : “ chia hết cho 2”, ta có mệnh đề được phát biểu là “Nếu là số tự nhiên chẵn thì chia hết cho 2”.

Xét mệnh đề A, mệnh đề này đúng vì khi hai đường trung tuyến tròn một tam giác bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân, có thêm yếu tố một góc bằng nên tam giác đó là tam giác đều. Ngược lại hiển nhiên tam giác đều suy ra được hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng .

Xét mệnh đề B, mệnh đề này đúng theo định lí Pythagore.

Xét mệnh đề C, mệnh đề này đúng theo định nghĩa và dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

Xét mệnh đề D, mệnh đề này sai vì khi hai tam giác đồng dạng thì ba cặp góc tương ứng của hai tam giác đó bằng nhau, các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau, nên điều kiện để hai tam giác bằng nhau phải có thêm cặp cạnh bằng nhau.

Ta có: .

Vì nên .

Với thì ;

Với thì ;

Với thì ;

Với thì ;

Với thì .

Vậy .

Ta có: , nên đáp án A không thỏa mãn.

, nên đáp án B không thỏa mãn.

, nên là một nghiệm của bất phương trình , chọn đáp án C.

, nên đáp án D không thỏa mãn.

Vì diện tích mặt sàn dành cho lưu thông tối thiểu là 15 m², do đó diện tích phần mặt sàn để kê giường và tủ quần áo tối đa là: 95 – 15 = 80 (m²).

Diện tích để kê một chiếc giường là 3,2 m², nên diện tích để kê chiếc giường là (m²).

Diện tích để kê một chiếc tủ quần áo là 1,6 m², nên diện tích để kê chiếc tủ quần áo là (m²).

Tổng diện tích cho phần mặt sàn để kê chiếc giường và chiếc tủ quần áo là: (m²).

Do đó, bất phương trình cần tìm là: hay .

Ta có: , đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì các bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ta có: (vô lí).

Do đó, không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình .

Câu 9.

Hàm số mô tả sự phụ thuộc của số tiền (đồng) phải chi trả và số bút (cái) cần mua của bạn Lan với giá tiền một chiếc bút là 5000 đồng là (đồng).

Câu 10.

Ta thấy đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên khoảng , do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng .

Câu 11.

Thay vào công thức của hàm số ta có:

Vậy tại thì giá trị của hàm số là 2023.

Câu 12.

Đồ thị hàm số với có dạng hình parabol với bề lõm hướng xuống dưới.

Câu 13.

Đồ thị hàm số bậc hai với có trục đối xứng là đường thẳng .

Câu 14.

Gọi hàm số bậc hai có dạng với .

Đồ thị hàm số đi qua ba điểm , và nên ta có hệ phương trình:

.

Như vậy, hàm số bậc hai cần tìm là: .

Câu 15.

Tam thức bậc hai (đối với ) là biểu thức có dạng , trong đó là những số thực cho trước (với ).

Câu 16.

Tam thức bậc hai (với ), khi thì cùng dấu với hệ số với mọi số thực .

Câu 17.

Tam thức bậc hai có

Do đó,

Vậy tam thức bậc hai không thể mang dấu âm trên tập số thực.

Ta có , đây là bất phương trình bậc hai một ẩn.

Câu 19.

Xét tam thức bậc hai có

Do đó, có hai nghiệm phân biệt:

Như vậy,

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .

Câu 20.

Thay vào hai vế của phương trình ta có:

Thay vào hai vế của phương trình ta có:

Thay vào hai vế của phương trình ta có:

Do đó, tất cả các đáp án trên đều sai.

Câu 21.

Bình phương hai vế của phương trình ta có:

Thay vào hai vế của phương trình ta có: (thỏa mãn)

Thay vào hai vế của phương trình ta có: (thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm, do đó, bạn Hiếu dự đoán đúng.

Theo định lí côsin trong tam giác , ta có:

Do đó, đáp án A, C, D đúng.

Đáp án B sai vì đẳng thức chỉ xảy ra khi tam giác vuông tại .

Vì tam giác vuông cân tại nên . Do đó, .

Ta có: , suy ra (hai góc bù nhau).

Theo định lí côsin trong tam giác , ta có:

.

Suy ra .

Vì nên chia cả tử và mẫu của cho ta được:

.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có: .

Suy ra .

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng nên đáp án D đúng.

Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối nên đáp án C đúng.

Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng nên đáp án B sai.

Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương nên đáp án A đúng.

Vì tam giác đều nên , suy ra .

Xét các đáp án:

• Đáp án A. Ta có . Vậy A đúng.

• Đáp án B. Ta có . Vậy B sai.

• Đáp án C. Ta có . Vậy C đúng.

• Đáp án D. Ta có . Vậy D đúng.

Ta có tam giác vuông cân đỉnh có , suy ra .

Gọi là trung điểm . Từ định lí Pythagore trong tam giác vuông , suy ra .

Khi đó . Do đó, .

Vì là trọng tâm của tam giác nên , nên đáp án A đúng.

Do đó, với là điểm bất kỳ, nên đáp án B đúng.

Vì là trung điểm của suy ra hay , do đó đáp án C đúng và đáp án D sai.

Ta có và ngược hướng nên .

Hai vectơ và khác vectơ . Tích vô hướng của hai vectơ và là một số thực được xác định bởi

.

Dựng điểm sao cho . Khi đó .

Tam giác vuông ở nên .

Lại có và là hai góc bù nhau nên .

Vậy .

Tam giác vuông tại nên .

Ta có: .

Bài 1. (1 điểm)

Gọi độ dài chiều rộng của mảnh đất nuôi gà hay khoảng cách cần phải cắm cọc tới bờ tường là (m) (minh họa như hình vẽ).

Độ dài của chiều dài mảnh đất nuôi gà là: (m)

Diện tích mảnh đất nuôi gà là: (m²).

Để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn thì:

(*)

Xét tam thức bậc hai có

.

Do đó, có hai nghiệm phân biệt:

Như vậy, bất phương trình (*) có tập nghiệm là đoạn .

Vậy khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường phải lớn hơn hoặc bằng 1,91 m và nhỏ hơn hoặc bằng 13,09 m thì mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn.

Bài 2. (1 điểm)

Gọi là vị trí ngọn hải đăng, từ kẻ vuông góc với đường thẳng tại . Khi đó là khoảng cách từ ngọn hải đăng tới bờ biển. Ta mô phỏng bài toán như hình vẽ sau:

Vì là góc ngoài tại đỉnh của tam giác nên .

Suy ra .

Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có:

.

Tam giác vuông tại nên ta có:

.

Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng 42,1 m.

Bài 3. (1 điểm)

Ta phân tích được:

Theo giả thiết:

Khi đó:

Do đó, .