Đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều năm 2022 - 2023 có đáp án (Đề 3)

Bộ sách: Cánh diều – Toán

Đề kiểm tra cuối học kì 1 năm học 2022 – 2023

ĐỀ SỐ 3

A. Ma trận đề kiểm tra cuối học kỳ 1

Lưu ý:

- Các câu hỏi ở cấp độ nhận biết và thông hiểu là các câu hỏi trắc nghiệm khách quan 4 lựa chọn, trong đó có duy nhất 1 lựa chọn đúng.

- Các câu hỏi ở cấp độ vận dụng và vận dụng cao là các câu hỏi tự luận.

- Số điểm tính cho 1 câu trắc nghiệm là 0,2 điểm/câu; số điểm của câu tự luận được quy định trong hướng dẫn chấm nhưng phải tương ứng với tỉ lệ điểm được quy định trong ma trận.

BẢNG ĐẶC TẢ KĨ THUẬT ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ 1

B. Đề kiểm tra cuối học kỳ 1

ĐỀ SỐ 3

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề đúng?

A. “là một số hữu tỉ.”;

B. “Tổng của hai cạnh một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba.”;

C. “Bạn có chăm học không?”;

D. “Con thì thấp hơn cha.”.

Câu 2. Phủ định của mệnh đề “” là mệnh đề

A. “”; B. “”;

C. “”; D. “”.

Câu 3. Trong các tập hợp sau, tập nào có đúng một tập hợp con ?

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 4. Cho hai tập hợp , khi đó:

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 5. Cặp số nào là một nghiệm của bất phương trình ?

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 6. Nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 7. Trong các hệ bất phương trình sau, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 8. Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là phần mặt phẳng không bị gạch trong hình nào dưới đây?

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 9. Hàm số mô tả sự phụ thuộc của quãng đường đi được vào thời gian (h) của một vật chuyển động thẳng đều với vận tốc km/h. Công thức của hàm số là

A. (km); B. (h);

C. (km); D. (h).

Câu 10. Đồ thị hàm số được vẽ như hình dưới.

Khoảng đồng biến của hàm số trên là

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 11. Tập xác định của hàm số là

A. ; B. ; C. ; D..

Câu 12. Đồ thị hàm số được vẽ như hình dưới.

Đồ thị hàm số có đỉnh và trục đối xứng lần lượt là

A. và ; B. và ;

C. và ; D. và .

Câu 13. Cho hàm số , khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng ;

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng ;

C. Hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng ;

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng .

Câu 14. Hàm số bậc hai có đồ thị đi qua hai điểm , và có trục đối xứng có công thức là

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 15. Trong các biểu thức sau, đâu không phải là tam thức bậc hai ?

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 16. Cho tam thức bậc hai có và . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. luôn dương trên tập số thực;

B. luôn âm trên tập số thực;

C. luôn không dương trên tập số thực;

D. luôn không âm trên tập số thực.

Câu 17. Tam thức bậc hai mang dấu âm trên khoảng nào sau đây ?

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 18. là một nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình là

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 20. Cho phương trình , giá trị nào sau đây không thể là nghiệm của phương trình ?

A. – 3; B. 2; C. 4; D. 3.

Câu 21. Cho phương trình , số nghiệm của phương trình này là

A. 1 nghiệm; B. 2 nghiệm; C. 3 nghiệm; D. 0 nghiệm.

Câu 22. Khẳng định nào sau đây là đúng với ?

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 23. Giá trị của biểu thức là

A. – 1; B. 1; C. 0; D. 3.

Câu 24. Cho tam giác với ; , lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác; là diện tích tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 25. Cho tam giác có . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng

A. 24; B. 12; C. 48; D. 8.

Câu 26. Cho có . Tính độ dài cạnh .

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 27. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Vectơ là một đường thẳng có hướng;

B. Vectơ là một đoạn thẳng;

C. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng;

D. Vectơ là một đoạn thẳng không phân biệt điểm đầu và điểm cuối.

Câu 28. Cho hình lục giác đều tâm . Số các vectơ khác vectơ-không, cùng phương với vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là

A. 4; B. 6; C. 8; D. 10.

Câu 29. Cho hình bình hành , với giao điểm hai đường chéo là . Khi đó:

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 30. Gọi là trọng tâm tam giác vuông với cạnh huyền . Vectơ có độ dài bằng

A. 2; B. 4; C. 8; D. .

Câu 31. Cho tam giác với trung tuyến và trọng tâm . Khi đó

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 32. Cho tam giác có điểm thuộc cạnh sao cho và là trung điểm của . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 33. Cho hai vectơ và khác vectơ . Tích vô hướng của hai vectơ và là một số thực được xác định bởi

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 34. Cho và là hai vectơ vuông góc với nhau. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 35. Cho tam giác có , và . Tích vô hướng bằng

A. ; B. ; C. ; D. .

II. Tự luận (3 điểm)

Bài 1. (1 điểm) Một con sông rộng 200 m, sâu 10 m, để thuận lợi cho giao lưu buôn bán hai bờ sông, người ta dự định xây dựng cây cầu bắc qua sông. Mỗi bên đầu cầu có một cột trụ (minh họa như hình vẽ), độ dài của mỗi cột trụ là 12 m và khoảng cách từ chân cầu đến cột trụ là 4 m. Tính độ cao của cầu (tính từ mặt sông đến điểm cao nhất của cầu, làm tròn đến hàng phần mười).

Bài 2. (1 điểm) Từ vị trí , người ta quan sát một cây cao (như hình dưới). Biết , . Tính chiều cao của cây.

Bài 3. (1 điểm) Cho tam giác có . Gọi là trung điểm của, là chân đường phân giác trong góc . Tính theo .

-----HẾT-----

C. Đáp án và hướng dẫn giải đề kiểm tra cuối học kỳ 1

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 3

I. Bảng đáp án trắc nghiệm

Vì số là số vô tỉ nên phát biểu “là một số hữu tỉ.” là mệnh đề sai.

Phát biểu “Bạn có chăm học không?” không là mệnh đề.

Phát biểu “Con thì thấp hơn cha.” không xác định tính đúng sai nên không là mệnh đề.

Theo bất đẳng thức tam giác, trong một tam giác tổng độ dài của hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba, vậy phát biểu ở đáp án B đúng.

Phủ định của mệnh đề “” là mệnh đề “”.

Mọi tập hợp đều có hai tập con là chính nó và tập rỗng ().

Riêng tập rỗng chỉ có một tập con là chính nó (chính là tập ).

Cách 1: Giải phương trình . Mà nên .

Giải bất phương trình . Mà nên chọn .

Ta có: .

Cách 2: Ta thử từng phần tử của các đáp án, nếu thỏa yêu cầu bài toán của tập mà không thuộc tập thì đó là đáp án đúng.

Xét cặp số và bất phương trình , ta có: .

Do đó, cặp số là một nghiệm của bất phương trình .

Giả sử đường thẳng có phương trình: .

Từ hình vẽ ta thấy, đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ và .

Khi đó ta có hệ .

Do đó, hay .

Lấy điểm không thuộc đường thẳng , ta thấy và nửa mặt phẳng không bị gạch chéo không chứa điểm .

Vậy nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình đã cho là miền nghiệm của bất phương trình .

Ta thấy hệ có hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho nên đáp án D thỏa yêu cầu đề bài.

Xét hệ .

+ Vẽ đường thẳng . Ta có , do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa gốc tọa độ (kể cả bờ ).

+ Vẽ đường thẳng . Ta có , do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa gốc tọa độ (kể cả bờ ).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là giao của hai miềm nghiệm của hai bất phương trình , và chính là phần mặt phẳng không bị gạch trong hình ở đáp án B.

Câu 9.

Hàm số mô tả sự phụ thuộc của quãng đường đi được vào thời gian (h) của một vật chuyển động thẳng đều với vận tốc km/h.

Công thức của hàm số là: (km).

(quãng đường của chuyển động thẳng đều bằng vận tốc nhân thời gian).

Câu 10.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên khoảng , do đó, hàm số đồng biến trên .

Câu 11.

Điều kiện xác định của hàm số là: .

Do vậy, tập xác định của hàm số là .

Câu 12.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có đỉnh và trục đối xứng lần lượt là: và .

Câu 13.

Hàm số có: , , .

Ta có: .

Như vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng .

Câu 14.

Hàm số bậc hai có dạng: với .

Đồ thị đi qua điểm nên ta có: .

Đồ thị đi qua điểm nên ta có: .

Đồ thị có trục đối xứng nên ta có: .

Từ những điều trên, ta có hệ phương trình:

.

Như vậy, .

Câu 15.

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng với .

Như vậy, không phải là tam thức bậc hai.

Câu 16.

Tam thức bậc hai có và . Khi đó, luôn không âm trên tập số thực hay .

Câu 17.

Xét tam thức bậc hai có: và và .

Do đó, có hai nghiệm:

;

Như vậy, mang dấu âm trên khoảng .

Thay vào các bất phương trình đã cho ta thấy bất phương trình ở đáp án D thỏa mãn nên là một nghiệm của bất phương trình .

Câu 19.

Xét tam thức bậc hai có:

Do đó, với mọi số thực

Hay với mọi số thực .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: .

Câu 20.

Ta có: – 3 – 2 = – 5 < 0, do đó khi thì vế phải của phương trình âm, mà vế trái luôn không âm. Vậy giá trị không thể là nghiệm của phương trình.

Câu 21.

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Hai góc bù nhau thì có sin bằng nhau, côsin, tang, côtang đối nhau nên với hai góc bù nhau và (), ta có:

;

;

;

.

Ta có:

Công thức tính diện tích tam giác: , do đó đáp án A sai và đáp án D đúng.

Theo định lí côsin trong tam giác ta có: nên đáp án B sai.

Theo định lí sin trong tam giác ta có: , do đó đáp án C sai.

Theo định lí sin trong tam giác ta có: .

Suy ra .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác , ta có:

.

Suy ra.

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Các vectơ cùng phương với vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:.

Vậy có 6 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Theo tính chất giao hoán và quy tắc ba điểm, ta có: nên đáp án A sai.

Áp dụng quy tắc hình bình hành đối với hình bình hành , ta có: nên đáp án B sai.

Vì là hình bình hành nên . Ta có: , do đó đáp án C đúng.

Theo quy tắc ba điểm, ta có: nên đáp án D sai.

Vì là trọng tâm tam giác nên .

.

Do đó, .

Giả sử điểm là trung điểm của cạnh huyền , khi đó là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông nên .

Theo tính chất trọng tâm ta có: .

Vậy .

Vì là trọng tâm của tam giác nên ta có .

Hai vectơ và ngược hướng nên . Vậy đáp án A và B đều sai.

Hai vectơ và ngược hướng nên . Vậy đáp án C đúng và đáp án D sai.

Vì là trung điểm của nên .

Vì nên , do đó .

Ta có:

.

Hai vectơ và khác vectơ . Tích vô hướng của hai vectơ và là một số thực được xác định bởi

.

Vì và là hai vectơ vuông góc với nhau nên .

Do đó, .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ta có:

.

Suy ra .

Theo hệ quả của định lí côsin ta có:

.

Ta có: .

Bài 1. (1 điểm)

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau:

Cây cầu có dạng hình parabol có phương trình với .

Ta có:; ;

Do đó, , , .

Do parabol đi qua ba điểm , , nên ta có hệ phương trình:

.

Do đó, phương trình parabol là: .

Đỉnh parabol có hoành độ (từ hình vẽ) nên có tung độ là: .

Độ cao của cầu chính là tung độ của đỉnh parabol.

Vậy độ cao của cầu xấp xỉ 25,5 m.

Bài 2. (1 điểm)

Ta mô phỏng bài toán như sau:

Vì tam giác vuông tại , theo định lí Pythagore ta có:

Suy ra .

Lại có: , suy ra .

Ta có: .

Tứ giác có: .

Suy ra .

Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có:

.

Vậy chiều cao của cây xấp xỉ 21,75 m.

Bài 3. (1 điểm)

Vì M là trung điểm của BC nên .

Suy ra

Lại có

Nên .

Theo tính chất đường phân giác thì .

Suy ra

Mặt khác và thay vào (*) ta được

Vậy .