I. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
- Bước 2: Tính đạo hàm f′(x), tìm các điểm x1,x2,...,xn mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
+ Các khoảng mà f′(x)>0 là các khoảng đồng biến của hàm số.
+ Các khoảng mà f′(x)<0 là các khoảng nghịch biến của hàm số.
Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=2x4+1.
Ta có y′=8x3,y′>0⇔x>0 nên hàm số đã cho đồng biến trên (0;+∞)
y′<0⇔x<0 nên hàm số đã cho nghịch biến trên (−∞;0)
Một số trường hợp đặc biệt:
II. Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R
Phương pháp:
- Bước 1: Tính f′(x).
- Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:
+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên R⇔y′=f′(x)⩾0,∀x∈R và y′=0 tại hữu hạn điểm.
+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên R⇔y′=f′(x)⩽0,∀x∈R và y′=0 tại hữu hạn điểm.
- Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm m.
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y=13x3−(m+1)x2−(2m+3)x+2017 đồng biến trên R.
Giải: Hàm số đã cho đồng biến trên R ⇔y′=x2−2(m+1)x−(2m+3)≥0 ∀x∈R.
⇔Δ′=(m+1)2+(2m+3)≤0 ⇔m2+4m+4≤0⇔m=−2
Cho hàm số f(x)=ax2+bx+c(a≠0). Khi đó:
f(x)⩾0,∀x∈R⇔{a>0Δ⩽0f(x)⩽0,∀x∈R⇔{a<0Δ⩽0
III. Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D cho trước
Phương pháp:
- Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:
+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên D⇔y′=f′(x)⩾0,∀x∈D.
+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên D⇔y′=f′(x)⩽0,∀x∈D.
- Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm m.
Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:
- Rút m theo x sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: m⩾g(x),∀x∈D hoặc m⩽g(x),∀x∈D.
- Khảo sát tính đơn điệu của hàm số y=g(x) trên D.
- Kết luận: m⩾g(x),∀x∈D⇒m⩾max
- Bước 3: Kết luận.
IV. Tìm m để hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất đồng biến, nghịch biến trên một khoảng
Tìm m để hàm số y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}} đồng biến, nghịch biến trên khoảng \left( {\alpha ;\beta } \right)
Phương pháp:
- Bước 1: Tính y'.
- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến:
+ Hàm số đồng biến trên \left( {\alpha ;\beta } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {\alpha ;\beta } \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)\end{array} \right.
+ Hàm số nghịch biến trên \left( {\alpha ;\beta } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {\alpha ;\beta } \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)\end{array} \right.
- Bước 3: Kết luận.
