Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân

I. Công thức tích phân từng phần

Ví dụ: Tính tích phân $I = \int\limits_1^2 {\ln tdt} .$

Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln t\\dv = dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dt}}{t}\\v = t\end{array} \right.$.

Khi đó $I = t\ln t\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. - \int\limits_1^2 {dt}  = t\ln t\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. - t\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. = 2\ln 2 - 1.$

II. Tích phân có chứa hàm số logarit

Ví dụ: Tính tích phân $I = \int\limits_1^e {x\ln x{\rm{d}}x.}$

Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.$

Khi đó $I = \dfrac{{{x^2}\ln x}}{2}\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^e x  = \dfrac{{{e^2}}}{2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}$

III. Tích phân có chứa hàm số mũ

Tính tích phân $\int\limits_m^n {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx}$. (trong đó $f\left( x \right)$ là hàm số đa thức)

Ví dụ: Tính $I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 3} \right){e^x}{\rm{d}}x}$

Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 3\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

Khi đó $I = \left. {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {2{e^x}dx}  = \left. {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right|_0^1 - \left. {2{e^x}} \right|_0^1 = 3e - 1.$

IV. Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức

Tính tích phân $\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx}$ hoặc $\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx}$. (trong đó $f\left( x \right)$ là hàm số đa thức)

Ví dụ: Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x\sin 2x{\rm{d}}x}$

Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin 2xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \dfrac{{\cos 2x}}{2}\end{array} \right..$

Khi đó $I =  - \dfrac{{x\cos 2x}}{2}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\dfrac{\pi }{4}}} \right. + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\cos 2xdx}  =  - \dfrac{{x\cos 2x}}{2}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\dfrac{\pi }{4}}} \right. + \dfrac{{\sin 2x}}{4}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\dfrac{\pi }{4}}} \right. = \dfrac{1}{4}.$

V. Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ

Tính tích phân $\int\limits_m^n {{e^{ax + b}}\sin \left( {cx + d} \right)dx}$ hoặc $\int\limits_m^n {{e^{ax + b}}\cos \left( {cx + d} \right)dx}$.

Ví dụ: Tính $K = \int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos 2x{\rm{d}}x}$

Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \cos 2x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du =  - 2\sin 2xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

Suy ra $K = \left( {{e^x}\cos 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^\pi }\\{_0}\end{array}} \right. + 2\int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin 2xdx}  = {e^\pi } - 1 + 2M$

Tính $M = \int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin 2xdx}$

Ta đặt $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \sin 2x\\d{v_1} = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{u_1} = 2\cos 2x\\{v_1} = {e^x}\end{array} \right.$

Suy ra $M = \left( {{e^x}\sin 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^\pi }\\{_0}\end{array}} \right. - 2\int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos 2x}  =  - 2K$

Khi đó $K = {e^\pi } - 1 + 2\left( { - 2K} \right) \Leftrightarrow 5K = {e^\pi } - 1 \Leftrightarrow K = \dfrac{{{e^\pi } - 1}}{5}$