Mệnh đề logic

I. Phủ định của một mệnh đề

Mệnh đề $P$ và $\overline P$ là hai câu khẳng định trái ngược nhau.

Nếu $P$ đúng $\overline P$ sai, nếu $P$ sai thì $\overline P$ đúng.

Mệnh đề phủ định của $P$ có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau, miễn là cùng mang một ý nghĩa “không phải $P$”.

Ví dụ:

Cho mệnh đề $P$: “$6$ chia hết cho $3$”. Khi đó, mệnh đề phủ định của $P$ là:

         $\overline P$ : “$6$ không chia hết cho $3$”

hoặc $\overline P$ : “$6$ không là bội của $3$”

hoặc $\overline P$ : “$3$ không là ước của $6$” đều cùng mang một ý nghĩa phủ định của $P$.

II. Mệnh đề kéo theo

Kí hiệu: $P \Rightarrow Q$.

Tính đúng sai: Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng, $Q$ sai và đúng trong các trường hợp còn lại.

Ví dụ:

a) Mệnh đề “Nếu $3$ là số nguyên tố thì $3$ chia hết cho $3$” là mệnh đề đúng vì hai mệnh đề “$3$ là số nguyên tố” và “$3$ chia hết cho $3$” đều đúng.

b) Mệnh đề “Nếu $3$ không là số nguyên tố thì $3$ không chia hết cho $3$” là mệnh đề đúng vì hai mệnh đề “$3$ không là số nguyên tố” và “$3$ không chia hết cho $3$” đều sai.

c) Mệnh đề “Nếu $3$ không là số nguyên tố thì $3$ chia hết cho $3$” là mệnh đề đúng vì mệnh đề “$3$ không là số nguyên tố” sai và “$3$ chia hết cho $3$” đúng.

d) Mệnh đề “Nếu $3$ là số nguyên tố thì $3$ không chia hết cho $3$” là mệnh đề sai vì mệnh đề “$3$ là số nguyên tố” đúng và “$3$ không chia hết cho $3$” sai.

Nhận xét:

Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ còn được phát biểu là “P kéo theo Q” hoặc “Từ P suy ra Q”

Khi mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là định lí, ta nói:

P là giả thiết, Q là kết luận của định lí;

P là điều kiện đủ để có Q;

Q là điều kiện cần để có P.

III. Mệnh đề đảo

Tính đúng sai: Nếu mệnh đề ban đầu $P \Rightarrow Q$ đúng thì mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$ sai và ngược lại.

Chú ý: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng

Ví dụ:

Mệnh đề “Nếu $ABC$ là tam giác vuông cân thì $ABC$ là tam giác vuông” có mệnh đề đảo là “Nếu $ABC$ là tam giác vuông thì $ABC$ là tam giác vuông cân”.

IV. Hai mệnh đề tương đương

Kí hiệu: $P \Leftrightarrow Q$.

Tính đúng sai:

Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ chỉ đúng khi cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng, hay nói cách khác: $P \Leftrightarrow Q$ chỉ đúng khi cả hai mệnh đề $P,Q$ cùng đúng hoặc cùng sai.

Ví dụ:

Cho các mệnh đề: $P$: “Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau”.

$Q$: “Tứ giác $ABCD$ là hình vuông”.

Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$: “Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau nếu và chỉ nếu tứ giác $ABCD$ là hình vuông” là mệnh đề đúng vì các mệnh đề:

+) $P \Rightarrow Q$: “Nếu tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau thì tứ giác $ABCD$ là hình vuông” là mệnh đề đúng.

+) $Q \Rightarrow P$: “Nếu tứ giác $ABCD$ là hình vuông thì tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau” là mệnh đề đúng.