I. Nguyên hàm từng phần và bài toán tìm nguyên hàm
\(\int {udv} = uv - \int {vdu} \)
Bài toán: Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( x \right).h\left( x \right)dx} \)
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = g\left( x \right)\\dv = h\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = g'\left( x \right)dx\\v = \int {h\left( x \right)dx} \end{array} \right.\) (\(v\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(h\left( x \right)\))
- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)dx} = uv - \int {vdu} \)
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \ln x\).
Giải:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\)
Do đó \(\int {\ln xdx} = uv - \int {vdu} = x.\ln x - \int {x.\dfrac{1}{x}dx} = x\ln x - \int {dx} = x\ln x - x + C\)
II. Dạng 1: Hàm số logarit
Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} \) với $f(x)$ là một hàm đa thức.
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{a}{{ {ax + b} }}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.\)
- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} = uv - \int {vdu} \)
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x\ln x$
Giải: Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {x\ln xdx} $.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.$
Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:
$F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{x^2}\ln x - \dfrac{1}{2}\int {xdx} = \dfrac{1}{2}{x^2}\ln x - \dfrac{1}{4}{x^2} + C$
III. Dạng 2: Hàm số mũ
Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} \) với $f(x)$ là một hàm đa thức.
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}\end{array} \right.\)
- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} = uv - \int {vdu} \)
Ví dụ: Tính $I = \int {x{e^x}{\rm{d}}x} $
Giải:
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$
Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có
$I = \int {x{e^x}dx} = x{e^x} - \int {{e^x}dx} $$ = x{e^x} - \int {d\left( {{e^x}} \right)} = x{e^x} - {e^x} + C$
IV. Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức
Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} \) hoặc \(\int {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} \).
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \sin \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \cos \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\)
- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} = uv - \int {vdu} \) hoặc \(\int {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} = uv - \int {vdu} \)
Ví dụ: Tính \(I = \int {x\sin xdx} \)
Giải:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \cos x\end{array} \right.\)
Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:
\(I = - x\cos x + \int {\cos xdx} = - x\cos x + \sin x + C\)
V. Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ
Tính nguyên hàm \(\int {{e^{ax + b}}\sin \left( {cx + d} \right)dx} \) hoặc \(\int {{e^{ax + b}}\cos \left( {cx + d} \right)dx} \).
- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sin \left( {cx + d} \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos \left( {cx + d} \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right.\)
- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(uv - \int {vdu} \).
- Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần nguyên hàm từng phần.
- Ở bước 1 ta cũng có thể đổi lại đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)
Ví dụ: Tính nguyên hàm $I = \int {\sin x.{e^x}{\rm{d}}x} $
Giải:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \cos xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\).
Khi đó \(I = {e^x}\sin x - \int {\cos x{e^x}dx} = {e^x}\sin x - J\)
Tính \(J = \int {\cos x{e^x}dx} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - \sin xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)
Suy ra \(J = {e^x}\cos x + \int {\sin x{e^x}dx} = {e^x}\cos x + I.\)
Do đó \(I = {e^x}\sin x - J = {e^x}\sin x - \left( {{e^x}\cos x + I} \right) \Leftrightarrow 2I = {e^x}\sin x - {e^x}\cos x\)
Vậy \(I = \dfrac{1}{2}\left( {{e^x}\sin x - {e^x}\cos x} \right) + C\)
Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có các hàm số sau thì thứ tự ưu tiên để đặt u là:
Lôgarit-> Hàm đa thức -> Hàm mũ -> Hàm lượng giác
