Phương trình logarit và một số phương pháp giải

I. Phương trình logarit cơ bản

Phương trình ${\log _a}x = m\left( {0 < a \ne 1} \right)$ được gọi là phương trình logarit cơ bản.

Điều kiện xác định: $x > 0$.

Với mọi $m \in R$ thì phương trình luôn có nghiệm duy nhất $x = {a^m}$.

Ví dụ: Giải phương trình ${\log _5}x =  - 2$.

Ta có: ${\log _5}x =  - 2 \Leftrightarrow x = {5^{ - 2}} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{25}}$.

II. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi các logarit về cùng cơ số.

- Bước 2: Sử dụng kết quả ${\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.$

- Bước 3: Giải phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ ở trên.

- Bước 4: Kết hợp điều kiện và kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình ${\log _2}x + {\log _4}x = 1$

Ta có:

$\begin{array}{l}{\log _2}x + {\log _4}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x + \frac{1}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow \frac{3}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x = \frac{2}{3}\\ \Leftrightarrow x = {2^{\frac{2}{3}}}\\ \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{4}\end{array}$

III. Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình logarit

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm ${\log _a}f\left( x \right)$ chung, đặt làm ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn.

- Bước 2: Giải phương trình chứa ẩn phụ, kiểm tra điều kiện.

- Bước 3: Thay ẩn phụ và giải phương trình đối với ẩn ban đầu.

- Bước 4: Kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình $\dfrac{1}{{\ln x}} + \dfrac{1}{{\ln x - 1}} = \dfrac{5}{6}$.

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\ln x \ne 0\\\ln x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\x \ne e\end{array} \right.$

Đặt $t = \ln x\left( {t \ne 0,t \ne 1} \right)$ ta được:

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{{t - 1}} = \dfrac{5}{6}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6t - 6 + 6t}}{{6t\left( {t - 1} \right)}} = \dfrac{{5t\left( {t - 1} \right)}}{{6t\left( {t - 1} \right)}}\\ \Rightarrow 12t - 6 = 5{t^2} - 5t\\ \Leftrightarrow 5{t^2} - 17t + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = \dfrac{2}{5}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln x = 3\\\ln x = \dfrac{2}{5}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {e^3}\\x = {e^{\frac{2}{5}}}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {{e^3};{e^{\frac{2}{5}}}} \right\}$.

IV. Phương pháp mũ hóa

Phương trình có dạng ${\log _a}f\left( x \right) = g\left( x \right)$.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

- Bước 2: Lấy lũy thừa cơ số $a$ hai vế:

${\log _a}f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^{g\left( x \right)}}$

- Bước 3: Giải phương trình trên tìm $x$.

- Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Ví dụ: Giải phương trình ${\log _3}\left( {3 - {3^x}} \right) = 1 + x$

ĐK: $3 - {3^x} > 0 \Leftrightarrow {3^x} < 3 \Leftrightarrow x < 1$

Ta có:

$\begin{array}{l}{\log _3}\left( {3 - {3^x}} \right) = 1 + x\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3^{1 + x}}\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3.3^x}\\ \Leftrightarrow 3 = {4.3^x}\\ \Leftrightarrow {3^x} = \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = {\log _3}\frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = 1 - {\log _3}4\left( {TM} \right)\end{array}$

V. Phương trình đưa về phương trình tích giải phương trình logarit

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có)

- Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng tích $AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$

- Bước 3: Giải các phương trình $A = 0,B = 0$ tìm nghiệm.

- Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.