Các bài toán về mặt phẳng và mặt cầu

I. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I$ bán kính $R$. Khi đó:

- $\left( S \right) \cap \left( P \right) = \emptyset  \Leftrightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) > R$.

- $\left( S \right) \cap \left( P \right) = \left\{ H \right\} \Leftrightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R$.

ở đó, $H$ là tiếp điểm, $\left( P \right)$ là tiếp diện và $OH \bot \left( P \right)$ tại $H$.

- $\left( S \right) \cap \left( P \right) = C\left( {H;r} \right) \Leftrightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) < R$.

ở đó : với $H$ là hình chiếu của $I$ trên $\left( P \right)$.

II. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc hoặc cắt mặt phẳng cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính bán kính mặt cầu dựa vào các điều kiện bài cho:

+ Tiếp xúc mặt phẳng nếu $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R$

+ Cắt mặt phẳng theo giao tuyến và đường tròn bán kính $r$ thì $R^2 = {r^2} + {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)$

III. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc, giao với mặt cầu cho trước

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm VTPT của mặt phẳng $(P)$ dựa vào điều kiện bài cho.

+ Tiếp xúc mặt cầu tại điểm $H$ thì $\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {IH}$

+ Trường hợp $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q):ax+by+cz+d=0$ ($a,b,c,d$ là các số cho trước) và cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính $r$ thì $\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{n_Q}}$ tức là $(P):ax+by+cz+d'=0$.

và $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}}$.

- Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng.

+ Tiếp xúc mặt cầu tại điểm $H$: Xác định điểm $H$ rồi lập phương trình mặt phẳng.

+ Trường hợp $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q):ax+by+cz+d=0$ ($a,b,c,d$ là các số cho trước) và cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính $r$:

Sử dụng $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}}$ để tìm d'.