Phương trình nghiệm phức

I. Căn bậc hai của số phức

- Số phức \(w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) là căn bậc hai của số phức \(z = a + bi\) nếu \({w^2} = z\).

- Mọi số phức \(z \ne 0\) đều có hai căn bậc hai là hai số đối nhau \(w\) và \( - w\)

- Số thực \(a > 0\) có hai căn bậc hai là \( \pm \sqrt a \); số thực \(a < 0\) có hai căn bậc hai là \( \pm i\sqrt {\left| a \right|} \).

II. Phương trình bậc hai nghiệm phức

Xét phương trình bậc hai tổng quát: \(A{z^2} + Bz + C = 0\left( {A \ne 0} \right)\).

- Biệt thức \(\Delta  = {B^2} - 4AC\).

+ Nếu \(\Delta  = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({z_{1,2}} =  - \dfrac{B}{{2A}}\)

+ Nếu \(\Delta  \ne 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({z_{1,2}} = \dfrac{{ - B \pm \sqrt \Delta  }}{{2A}}\) (ở đó \(\sqrt \Delta  \) là kí hiệu căn bậc hai của số phức \(\Delta \))

- Hệ thức Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - \dfrac{B}{A}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A}\end{array} \right.\)

III. Giải phương trình bậc hai

Ví dụ: Tìm tập nghiệm của phương trình \({z^2} + z + 1 = 0\).

Giải:

Ta có: \(\Delta  = {1^2} - 4.1.1 =  - 3\), các căn bậc hai của \( - 3\) là \(i\sqrt 3 \) và \( - i\sqrt 3 \)

Do đó phương trình có nghiệm \({z_1} = \dfrac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}\) và \({z_2} = \dfrac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {\dfrac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}} \right\}\)

IV. Sử dụng Vi-et để giải bài toán liên quan đến hai nghiệm của phương trình bậc hai

Ví dụ: Biết phương trình \(2{z^2} + 4z + 3 = 0\) có hai nghiệm phức \({z_1},\,\,{z_2}\). Tính giá trị của $|z_1+z_2|$.

Giải:

Theo định lý Vi-et ta có: $z_1+z_2=-\dfrac{4}{2}=-2$

=>$|z_1+z_2|=2$

V. Giải phương trình nghiệm phức bậc cao

Ví dụ: Giải phương trình \({z^4} + 1 = 0\).

Giải:

Ta có: \({z^4} + 1 = 0 \Leftrightarrow {z^4} - {i^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} - i} \right)\left( {{z^2} + i} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = i\left( 1 \right)\\{z^2} =  - i\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải (1): Ta tìm căn bậc hai của số phức \(z' = i\).

Gọi \(w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) là một căn bậc hai của số phức \(z' = i\). Khi đó:

\({w^2} = i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 0\\2xy = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = y\\2{x^2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - y\\ - 2{y^2} = 1(L)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\x = y =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \\ \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\\z =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\end{array} \right.\)

Giải (2): Ta tìm căn bậc hai của số phức \(z' =  - i\)

Vì \(z' =  - i = {i^2}.i\) nên các căn bậc hai của \(z'\) là \(i.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\) và \(i\left( { - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\)

Vậy phương trình có các nghiệm \({z_1} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_2} =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_3} =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_4} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\).