I. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\), bán kính \(R\) và đường thẳng \(\Delta \) (đi qua \(M\) và có VTCP \(\overrightarrow u \)). Khi đó:
+) \(\Delta \cap \left( S \right) = \emptyset \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) > R\).
+) \(\Delta \cap \left( S \right) = \left\{ H \right\} \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = R\).
+) \(\Delta \cap \left( S \right) = \left\{ {A,B} \right\} \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) < R\).
ở đó \({R^2} = {d^2}\left( {I,\Delta } \right) + \dfrac{{A{B^2}}}{4}\) và \(AB = 2\sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,\Delta } \right)} \)
II. Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Phương pháp:
Cách 1: Sử dụng lý thuyết vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.
- Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và so sánh với \(R\).
- Bước 2: Kết luận dựa vào các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.
Cách 2: Xét phương trình giao điểm của đường thẳng và mặt cầu.
- Nếu phương trình vô nghiệm thì đường thẳng không có điểm chung với mặt cầu.
- Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu.
- Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.
III. Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng cho trước
Phương pháp:
- Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu ở dạng tổng quát.
- Bước 2: Xét phương trình giao điểm của \(d\) và \(\left( S \right)\), điều kiện để mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng là phương trình giao điểm có nghiệm duy nhất.
IV. Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng có mối quan hệ với đường thẳng và mặt cầu
Phương pháp chung:
Xác định điểm đi qua và VTPT của mặt phẳng, từ đó viết phương trình.
