Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ sao cho $10m \in \mathbb{Z}$ và phương trình $2{\log _{mx - 5}}\left( {2{x^2} - 5x + 4} \right) = {\log _{\sqrt {mx - 5} }}\left( {{x^2} + 2x - 6} \right)$ có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của $S.$

Ta có: $2{x^2} - 5x + 4 > 0$ với mọi $x$ nên phương trình

$2{\log _{mx - 5}}\left( {2{x^2} - 5x + 4} \right) = {\log _{\sqrt {mx - 5} }}\left( {{x^2} + 2x - 6} \right)$ tương đương với

$\left\{ \begin{array}{l}mx - 5 > 0\\mx - 5 \ne 1\\2{x^2} - 5x + 4 > 0\\2{x^2} - 5x + 4 = {x^2} + 2x - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx > 5\\mx \ne 6\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right.$

Phương trình có nghiệm duy nhất tương đương với ta nhận nghiệm $x = 2$ và loại $x = 5$ hoặc nhận nghiệm $x = 5$ và loại $x = 2$.

+ Trường hợp 1: Nhận nghiệm $x = 2$ và loại $x = 5$.

Điều này tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}2m > 5\\2m \ne 6\\\left[ \begin{array}{l}5m \le 5\\5m = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{5}{2}\\m \ne 3\\\left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m = \dfrac{6}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.$ (vô lí)

+ Trường hợp 2: Nhận nghiệm $x = 5$ và loại $x = 2$.

Điều này tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}5m > 5\\5m \ne 6\\\left[ \begin{array}{l}2m \le 5\\2m = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m \ne \dfrac{6}{5}\\\left[ \begin{array}{l}m \le \dfrac{5}{2}\\m = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\\left\{ \begin{array}{l}1 < m \le \dfrac{5}{2}\\m \ne \dfrac{6}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.$

Suy ra: $\left[ \begin{array}{l}10m = 30\\\left\{ \begin{array}{l}10 < 10m \le 25\\m \ne 12\end{array} \right.\end{array} \right.$

Vì $10m \in \mathbb{Z}$ nên $10m \in \left\{ {11;13;14...;25} \right\} \cup \left\{ {30} \right\}$

Trong tập hợp này có $15$ phần tử nên tập hợp $S$ cũng có $15$ phần tử.

Chú ý: $m \in \left\{ {\dfrac{{11}}{{10}};\dfrac{{13}}{{10}};\dfrac{{14}}{{10}}...;\dfrac{{25}}{{10}}} \right\} \cup \left\{ {\dfrac{{30}}{{10}}} \right\}$