Xét các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\dfrac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 3} \right) + y\left( {y - 3} \right) + xy.\) Tìm giá trị lớn nhất \({P_{\max }}\) của biểu thức \(P = \dfrac{{3x + 2y + 1}}{{x + y + 6}}.\)

Ta có:

\({\log _{\sqrt 3 }}\dfrac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 3} \right) + y\left( {y - 3} \right) + xy\)

\( \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + y} \right) - {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)\)\( = {x^2} + {y^2} + xy - 3\left( {x + y} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + y} \right) + 3\left( {x + y} \right)\)\( = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + {x^2} + {y^2} + xy\)

\( \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + y} \right) + 3\left( {x + y} \right) + 2\) \( = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)\)

$ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left[ {3\left( {x + y} \right)} \right] + 3\left( {x + y} \right)$$ = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + {x^2} + {y^2} + xy + 2$

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _{\sqrt 3 }}t + t\), \(t > 0\) có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln \sqrt 3 }} + 1 > 0,\,\,\forall t > 0\)

Vậy hàm số \(f\left( t \right)\) luôn đồng biến và liên tục trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$

Do đó: \(f\left( {3\left( {x + y} \right)} \right) = f\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow 3\left( {x + y} \right) = {x^2} + {y^2} + xy + 2\)   \(\left( 1 \right)\)

\( \Leftrightarrow xy = {\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) + 2\)

Ta có \(x = x + xy - xy = x\left( {y + 1} \right) - xy \le {\left( {\dfrac{{x + y + 1}}{2}} \right)^2} - xy\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = y + 1\).

Do đó từ $\left( 1 \right)$, suy ra: \(x \le \dfrac{{{{\left( {x + y + 1} \right)}^2}}}{4} - {\left( {x + y} \right)^2} + 3\left( {x + y} \right) - 2\).

Đặt \(t = x + y\), \(t > 0\)

Suy ra: $P = \dfrac{{2\left( {x + y} \right) + 1 + x}}{{x + y + 6}} \le \dfrac{{2t + 1 + \dfrac{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}{4} - {t^2} + 3t - 2}}{{t + 6}} = \dfrac{{ - 3{t^2} + 22t - 3}}{{4\left( {t + 6} \right)}} = f\left( t \right)$

Ta có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{{ - 3{t^2} - 36t + 135}}{{4{{\left( {t + 6} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 3\) (vì $t>0$)

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT, ta có \(\max P = \mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( t \right) = f\left( 3 \right) = 1\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = y + 1\\x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\).