Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) (\(a\) là tham số) để phương trình \(\left( {3{a^2} + 12a + 15} \right){\log _{27}}\left( {2x - {x^2}} \right) + \left( {\dfrac{9}{2}{a^2} - 3a + 1} \right){\log _{\sqrt {11} }}\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right) = 2{\log _9}\left( {2x - {x^2}} \right) + {\log _{11}}\left( {\dfrac{{2 - {x^2}}}{2}} \right)\) có nghiệm duy nhất?

Điều kiện \(0 < x < \sqrt 2 .\)

\(PT \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 4a + 5} \right){\log _3}\left( {2x - {x^2}} \right) + \left( {9{a^2} - 6a + 2} \right){\log _{11}}\left( {\dfrac{{2 - {x^2}}}{2}} \right) = {\log _3}\left( {2x - {x^2}} \right) + {\log _{11}}\left( {\dfrac{{2 - {x^2}}}{2}} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 4a + 4} \right){\log _3}\left( {2x - {x^2}} \right) + \left( {9{a^2} - 6a + 1} \right){\log _{11}}\left( {\dfrac{{2 - {x^2}}}{2}} \right) = 0\)

$ \Leftrightarrow {\left( {a + 2} \right)^2}{\log _3}\left( {2x - {x^2}} \right) + {\left( {3a - 1} \right)^2}{\log _{11}}\left( {\dfrac{{2 - {x^2}}}{2}} \right) = 0$$ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{3a - 1}}{{a + 2}}} \right)^2} = \dfrac{{{{\log }_3}\left( {2x - {x^2}} \right)}}{{{{\log }_{11}}\left( {\dfrac{2}{{2 - {x^2}}}} \right)}} $$\left( * \right)$

Mà vế trái của $\left( * \right)$ luôn dương với mọi \(a\) nguyên dương

Vì \(0 < x < \sqrt 2 \) nên \(2 - {x^2} < 2 \Rightarrow \dfrac{2}{{2 - {x^2}}} > 1 \Rightarrow {\log _{11}}\left( {\dfrac{2}{{2 - {x^2}}}} \right) > 0\)

Do đó từ $\left( * \right)$ suy ra ${\log _3}\left( {2x - {x^2}} \right) > 0$$ \Leftrightarrow 2x - {x^2} > 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 < 0$$ \Rightarrow $ không tồn tại $x$.

Vậy không có giá trị \(a\) thỏa yêu cầu.