Câu hỏi:
2 năm trước
Biết rằng \({2^{x + \dfrac{1}{x}}} = {\log _2}\left[ {14 - \left( {y - 2} \right)\sqrt {y + 1} } \right]\) trong đó \(x > 0.\)
Tính giá trị của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} - xy + 1.\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có \(x + \dfrac{1}{x} \ge 2 \Rightarrow {2^{x + \dfrac{1}{x}}} \ge 4\).
Lại có \(14 - \left( {y - 2} \right)\sqrt {y + 1} = 14 - \left( {y + 1} \right)\sqrt {y + 1} + 3\sqrt {y + 1} \)
Đặt \(t = \sqrt {y + 1} \ge 0.\) Xét hàm số \(f\left( t \right) = - {t^3} + 3t + 14\) trên \(\left[ {0;\; + \infty } \right)\), ta có
\(f'\left( t \right) = - 3{t^2} + 3\). Do đó \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3{t^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\) vì \(t \in \left[ {0;\; + \infty } \right)\).
Từ đó ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\; + \infty } \right)} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 16.\)
Vậy \(14 - \left( {y - 2} \right)\sqrt {y + 1} \le 16\) \( \Rightarrow {\log _2}\left[ {14 - \left( {y - 2} \right)\sqrt {y + 1} } \right] \le 4\)
Khi đó
\({2^{x + \dfrac{1}{x}}} = {\log _2}\left[ {14 - \left( {y - 2} \right)\sqrt {y + 1} } \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0.\end{array} \right.\) \( \Rightarrow P = 2.\)
Hướng dẫn giải:
- Đánh giá hai vế của phương trình (tìm \(GTLN,GTNN\) nếu có)
- Giải phương trình tìm \(x,y\) và kết luận.
