Cho \(x\), \(y\) là các số thực thỏa \({\log _{3x + y}}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 1\). Khi \(3x + y\) đạt giá trị lớn nhất, thì giá trị \(k = \dfrac{x}{y}\) là

Biết \({x_1}\), \({x_2}\) \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là hai nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {\sqrt[{}]{{{x^2} - 3x + 2}} + 2} \right) + {5^{{x^2} - 3x + 1}} = 2\) và \({x_1} + 2{x_2} = \dfrac{1}{2}\left( {a + \sqrt[{}]{b}} \right)\) với \(a\), \(b\) là hai số nguyên dương. Tính \(a - b\).

Biết rằng \({2^{x + \dfrac{1}{x}}} = {\log _2}\left[ {14 - \left( {y - 2} \right)\sqrt {y + 1} } \right]\) trong đó \(x > 0.\)

Tính giá trị của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} - xy + 1.\)

Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình $\left( {2 - x} \right)\left( {2 + {4^x}} \right) = 6$. Khi đó số phần tử của tập $S$ là bao nhiêu

Cho $x$, $y$ là các số thực dương thỏa mãn \({5^{x + 2y}} + \dfrac{3}{{{3^{xy}}}} + x + 1 = \dfrac{{{5^{xy}}}}{5} + {3^{ - x - 2y}} + y(x - 2)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = x + y\).

Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) (\(a\) là tham số) để phương trình \(\left( {3{a^2} + 12a + 15} \right){\log _{27}}\left( {2x - {x^2}} \right) + \left( {\dfrac{9}{2}{a^2} - 3a + 1} \right){\log _{\sqrt {11} }}\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right) = 2{\log _9}\left( {2x - {x^2}} \right) + {\log _{11}}\left( {\dfrac{{2 - {x^2}}}{2}} \right)\) có nghiệm duy nhất?

Xét các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\dfrac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 3} \right) + y\left( {y - 3} \right) + xy.\) Tìm giá trị lớn nhất \({P_{\max }}\) của biểu thức \(P = \dfrac{{3x + 2y + 1}}{{x + y + 6}}.\)