Câu hỏi:
2 năm trước
Biết \({x_1}\), \({x_2}\) \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là hai nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {\sqrt[{}]{{{x^2} - 3x + 2}} + 2} \right) + {5^{{x^2} - 3x + 1}} = 2\) và \({x_1} + 2{x_2} = \dfrac{1}{2}\left( {a + \sqrt[{}]{b}} \right)\) với \(a\), \(b\) là hai số nguyên dương. Tính \(a - b\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Điều kiện \(x \in \left( { - \infty \,;\,1} \right] \cup \left[ {2\,;\, + \infty } \right)\).
Đặt \(\sqrt[{}]{{{x^2} - 3x + 2}} = t\) với \(t \ge 0\).
Ta có \({x^2} - 3x + 1 = {t^2} - 1\).
Phương trình đã cho trở thành \({\log _3}\left( {t + 2} \right) + {5^{{t^2} - 1}} = 2\) \(\left( * \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}\left( {t + 2} \right) + {5^{{t^2} - 1}}\) trên \(\left[ {0\,;\, + \infty } \right)\)
Có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{\left( {t + 2} \right)\ln 3}} + {5^{{t^2} - 1}}.2t\ln 5 > 0\) với \(t \ge 0\)
Do đó hàm số đồng biến trên \(\left[ {0\,;\, + \infty } \right)\).
Mặt khác \(f\left( 1 \right) = 2\). Phương trình \(\left( * \right)\) có dạng: \(f\left( t \right) = f\left( 1 \right)\) \( \Rightarrow t = 1\).
Với \(t = 1 \Rightarrow \sqrt[{}]{{{x^2} - 3x + 2}} = 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 1\) \( \Rightarrow {x_1} = \dfrac{{3 - \sqrt[{}]{5}}}{2}\), \({x_2} = \dfrac{{3 + \sqrt[{}]{5}}}{2}\) (vì $x_1<x_2$)
Vậy \({x_1} + 2{x_2} = \dfrac{1}{2}\left( {9 + \sqrt[{}]{5}} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 5\end{array} \right.\) \( \Rightarrow a - b = 4\)
Hướng dẫn giải:
- Đặt ẩn phụ \(\sqrt[{}]{{{x^2} - 3x + 2}} = t\) tìm điều kiện của ẩn và đưa phương trình về chỉ xuất hiện ẩn \(t\)
- Dùng phương pháp hàm số (xét hàm) tìm nghiệm của phương trình và kết luận.
