Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình $\left( {2 - x} \right)\left( {2 + {4^x}} \right) = 6$. Khi đó số phần tử của tập $S$ là bao nhiêu

Ta có:

$\left( {2 - x} \right)\left( {2 + {4^x}} \right) = 6 \Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( {2 + {4^x}} \right) - 6 = 0$

Xét hàm số $f\left( x \right) = \left( {2 - x} \right)\left( {2 + {4^x}} \right) - 6$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Dễ thấy $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$.

Theo định lý Rolle:

+ Trên đoạn $\left[ {0;\dfrac{1}{2}} \right]$ ta có $f\left( 0 \right) = f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 0$ nên $\exists {c_1} \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)$: $f'\left( {{c_1}} \right) = 0$.

+ Trên đoạn $\left[ {\dfrac{1}{2};1} \right]$ ta có $f\left( 1 \right) = f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 0$ nên $\exists {c_2} \in \left( {\dfrac{1}{2};1} \right)$: $f'\left( {{c_2}} \right) = 0$.

Do đó $f'\left( x \right) = 0$ có ít nhất hai nghiệm phân biệt ${c_1}$, ${c_2}$.

Mặt khác ta xét $f'\left( x \right) =  - \left( {2 + {4^x}} \right) + {4^x}\ln 4\left( {2 - x} \right)$,

$f''\left( x \right) =  - {4^x}\ln 4 + {4^x}{\ln ^2}4\left( {2 - x} \right) - {4^x}\ln 4$$ = {4^x}\left( { - 2\ln 4 + 2{{\ln }^2}4 - x{{\ln }^2}4} \right) = 0$

$ \Rightarrow x = \dfrac{{2 - 2\ln 4}}{{\ln 4}}$.

Vậy $f''\left( x \right) = 0$ có nghiệm duy nhất suy ra $f'\left( x \right) = 0$ có nhiều nhất hai nghiệm.

Mà ta đã chứng minh được $f'(x)$ có ít nhất $2$ nghiệm ở trên nên $f'(x)=0$ chỉ có $2$ nghiệm.

Suy ra $f\left( x \right) = 0$ có nhiều nhất là ba nghiệm.

Ngoài ra, $3$ nghiệm đó là: $0;\dfrac{1}{2};1$ nên phương trình đã cho chỉ có \(3\) nghiệm.