Xét các số thực \(a\), \(b\) thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{1}{3} < b < a < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = {\log _a}\left( {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right) + 12\log _{\frac{b}{a}}^2a - 3$.

$P = {\log _a}\left( {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right) + 12{\left( {{{\log }_{\frac{b}{a}}}a} \right)^2} - 3$$ = {\log _a}\left( {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right) + 12{\left( {\dfrac{1}{{{{\log }_a}\dfrac{b}{a}}}} \right)^2} - 3$$ = {\log _a}\left( {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right) + 12{\left( {\dfrac{1}{{{{\log }_a}b - 1}}} \right)^2} - 3$

Ta có: $\dfrac{{3b - 1}}{4} \le {b^3}$$ \Leftrightarrow 3b - 1 \le 4{b^3}$$ \Leftrightarrow 4{b^3} - 3b + 1 \ge 0$$ \Leftrightarrow \left( {b + 1} \right)\left( {4{b^2} - 4b + 1} \right) \ge 0$

$ \Leftrightarrow \left( {b + 1} \right){\left( {2b - 1} \right)^2} \ge 0$ (luôn đúng với \(\dfrac{1}{3} < b < 1\))

$ \Rightarrow {\log _a}\left( {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right) \ge {\log _a}{b^3}$ ( vì \(a < 1\)) $ \Rightarrow {\log _a}\left( {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right) \ge 3{\log _a}b$

Do đó $P \ge 3{\log _a}b + \dfrac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}} - 3$$ \Leftrightarrow P \ge 3\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) + \dfrac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}}$ \(\left( * \right)\)

Vì \(\dfrac{1}{3} < b < a < 1\) nên \({\log _a}b > 1\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho \(3\) số dương: \(\dfrac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)\), \(\dfrac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)\), $\dfrac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}}$

\(\dfrac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) + \dfrac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) + \dfrac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}}\)\( \ge 3.\,\sqrt[3]{{\dfrac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right).\dfrac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right).\dfrac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}}}}\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) + \dfrac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}} \ge 9\) \(\left( {**} \right)\)

Từ \(\left( * \right)\)và \(\left( {**} \right)\) ta có \(P \ge 9\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\\dfrac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) = \dfrac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)^3} = 8\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\{\log _a}b - 1 = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\{\log _a}b = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\b = {a^3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\a = \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{\dfrac{1}{2}}}\end{array} \right.\)

Vậy \(\min P = 9\)