Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a.$ Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $B'C'$ (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $B'D'$ bằng

Trong không gian Oxyz cho điểm $M\left( {1;3; - 2} \right)$. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua M và cắt các trục $x'Ox;y'Oy,z'Oz$ lần lượt tại ba điểm phân biệt $A,B,C$ sao cho $OA = OB = OC \ne 0$

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 13 = 0$ và đường thẳng $d:\,\,\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}$. Tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là các tiếp điểm) thỏa mãn $\widehat {AMB} = {60^0};\,\,\widehat {BMC} = {90^0};\,\widehat {CMA} = {120^0}$ có dạng $M\left( {a;b;c} \right)$ với $a < 0$. Tổng $a + b + c$ bằng:

Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $A(1;\,\,2;\,\, - 1),$ đường thẳng $d:\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}$ và mặt phẳng $(P):x + y + 2z\, + 1 = 0.$ Điểm $B$ thuộc mặt phẳng $(P)$ thỏa mãn đường thẳng $AB$ vuông góc và cắt đường thẳng $d.$ Tọa độ điểm $B$ là

Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $(S):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 6,$ tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P):x + y + 2z\, + \,5 = 0,\,\,(Q):2x - y + z\, - \,5 = 0$ lần lượt tại các tiếp điểm $A,\,\,B.$ Độ dài đoạn thẳng $AB$ là

Trong không gian $Oxyz,$ cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\, + t\\y = 2 - t\\z = t\end{array} \right.,$ $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2t'\\y = 1 + t'\\z = 2 + t'\end{array} \right..$ Đường thẳng $\Delta$ cắt $d,\,\,d'$ lần lượt tại các điểm $A,\,\,B$ thỏa mãn độ dài đoạn thẳng $AB$ nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng $\Delta$ là

Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - m}}{2}$ và mặt cầu  $(S):{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 9.$ Tìm $m$ để đường thẳng $d$ cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm phân biệt $E,\,\,F$ sao cho độ dài đoạn thẳng $EF$ lớn nhất

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông  cạnh $a,$ cạnh bên $SA\, = \,2a$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SD.$ Tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(AMC)$ và $(SBC)$ bằng