Bài tập phương trình cân bằng nhiệt

Đổi đơn vị: Khối lượng của \(3l\) nước \( = 3kg\)

+ Gọi nhiệt độ ban đầu của nước là \({t_0}\)

- Nhiệt lượng của miếng thép tỏa ra là: \({Q_1} = {m_1}{c_1}\Delta {t_1} = 2.460\left( {345 - 30} \right) = 289800J\)

- Nhiệt lượng mà nước thu vào: \({Q_2} = {m_2}{c_2}\Delta {t_2} = 3.4200\left( {30 - {t_0}} \right)\)

+ Áp dụng phương trình cân bằng nhiệt, ta có:

\(\begin{array}{l}{Q_1} = {Q_2} \leftrightarrow 289800 = 3.4200\left( {30 - t} \right)\\ \to t = 7\end{array}\)

Vậy nhiệt độ ban đầu của nước là: \({t_0} = {7^0}C\)

Ta có:

Nhôm: \(\left\{ \begin{array}{l}{m_1} = 0,15kg\\{c_1} = 880J/kg.K\\{t_1} = {100^0}C\end{array} \right.\)

Nước: \(\left\{ \begin{array}{l}{m_2} = ?\\{c_2} = 4200J/kg.K\\{t_2} = {20^0}C\end{array} \right.\)

Nhiệt độ cân bằng: \(t = {25^0}C\)

+ Nhiệt lượng mà quả cầu nhôm tỏa ra là: \({Q_1} = {m_1}{c_1}\left( {{t_1} - t} \right)\)

+ Nhiệt lượng mà nước nhận được là: \({Q_2} = {m_2}{c_2}\left( {t - {t_2}} \right)\)

+ Áp dụng phương trình cân bằng nhiệt, ta có:

\(\begin{array}{l}{Q_1} = {Q_2} \leftrightarrow {m_1}{c_1}\left( {{t_1} - t} \right) = {m_2}{c_2}\left( {t - {t_2}} \right)\\ \leftrightarrow 0,15.880\left( {100 - 25} \right) = {m_2}.4200\left( {25 - 20} \right)\\ \to {m_2} = 0,471kg\end{array}\)

Gọi nhiệt độ khi cân bằng là \(t\)

Thỏi sắt: \(\left\{ \begin{array}{l}{m_1} = 3kg\\{c_1} = 460J/kg.K\\{t_1} = {500^0}C\end{array} \right.\)

Nước: \(\left\{ \begin{array}{l}{m_2} = 5kg\\{c_2} = 4200J/kg.K\\{t_2} = {15^0}C\end{array} \right.\)

+ Nhiệt lượng thỏi sắt tỏa ra là: \({Q_1} = {m_1}{c_1}\left( {{t_1} - t} \right)\)

Nhiệt lượng nước thu vào là: \({Q_2} = {m_2}{c_2}\left( {t - {t_2}} \right)\)

+ Áp dụng phương trình cân bằng nhiệt, ta có:

\(\begin{array}{l}{Q_1} = {Q_2} \leftrightarrow {m_1}{c_1}\left( {{t_1} - t} \right) = {m_2}{c_2}\left( {t - {t_2}} \right)\\ \leftrightarrow 3.460\left( {500 - t} \right) = 5.4200\left( {t - 15} \right)\\ \to t = 44,9\end{array}\)

Vậy nhiệt độ khi cân bằng là \(t = 44,{9^0}C\)

Đổi đơn vị: \(15l\) nước ứng với \(15kg\)

Ta có:

Nhiệt độ cân bằng của nước pha là: \(t = {38^0}C\)

Nước sôi: \(\left\{ \begin{array}{l}{m_1} = ?\\c\\{t_1} = {100^0}C\end{array} \right.\)

Nước lạnh: \(\left\{ \begin{array}{l}{m_2} = 15l\\c\\{t_2} = {24^0}C\end{array} \right.\)

+ Nhiệt lượng mà nước sôi tỏa ra là: \({Q_1} = {m_1}c\left( {{t_1} - t} \right)\)

+ Nhiệt lượng mà \(15l\) nước lạnh nhận được là: \({Q_2} = {m_2}c\left( {t - {t_2}} \right)\)  

+ Áp dụng phương trình cân bằng nhiệt, ta có:

\(\begin{array}{l}{Q_1} = {Q_2} \leftrightarrow {m_1}c\left( {{t_1} - t} \right) = {m_2}c\left( {t - {t_2}} \right)\\ \leftrightarrow {m_1}\left( {{t_1} - t} \right) = {m_2}\left( {t - {t_2}} \right)\\ \leftrightarrow {m_1}\left( {100 - 38} \right) = 15\left( {38 - 24} \right)\\ \to {m_1} = 3,39kg\end{array}\)

Vậy phải pha thêm \(3,39kg\) hay \(3,39l\) nước sôi vào \(15l\) nước lạnh ở \({24^0}C\) để pha được nước tắm ở nhiệt độ \({38^0}C\)

Ta có:

+ Nhiệt lượng mà miếng đồng tỏa ra là: \({Q_1} = {m_{Cu}}.{c_{Cu}}\left( {80 - 20} \right) = 0,5.380\left( {80 - 20} \right) = 11400J\)

+ Nhiệt lượng mà nước nhận được là: \({Q_2} = {m_{nuoc}}.{c_{nuoc}}.\Delta t\)

Mặt khác, theo phương trình cân bằng nhiệt, ta có:

\({Q_1} = {Q_2} = 11400J\)

Ta suy ra: \(\Delta t = \frac{{{Q_2}}}{{{m_{nuoc}}{c_{nuoc}}}} = \frac{{11400}}{{0,5.4200}} = 5,43\)

Vậy nước nóng thêm được \(5,{43^0}C\)   

* Cách 1:

+ Giả sử rằng, thoạt đầu ta trộn hai chất có nhiệt độ thấp hơn với nhau ta thu được một hỗn hợp có nhiệt độ cân bằng là \(t' < {t_3}\),  ta có phương trình cân bằng nhiệt:

\({Q_1} = {Q_2} \leftrightarrow {m_1}{c_1}\left( {t' - {t_1}} \right) = {m_2}{c_2}\left( {{t_2} - t'} \right)\)  (1)

+ Sau đó, ta đem hỗn hợp trộn với chất thứ 3 ta thu được hỗn hợp 3 chất có nhiệt độ cân bằng \({t_{cb}}\) \(\left( {t' < {t_{cb}} < {t_3}} \right)\), ta có phương trình cân bằng nhiệt:

\(\left( {{m_1}{c_1} + {m_2}{c_2}} \right)\left( {{t_{cb}} - t'} \right) = {m_3}{c_3}\left( {{t_3} - {t_{cb}}} \right)\)  (2)

Thế (1) vào (2), ta suy ra:

\({t_{cb}} = \dfrac{{{m_1}{c_1}{t_1} + {m_2}{c_2}{t_2} + {m_3}{c_3}{t_3}}}{{{m_1}{c_1} + {m_2}{c_2} + {m_3}{c_3}}}\)

Thay số vào, ta được:

\(\begin{array}{l}{t_{cb}} = \dfrac{{{m_1}{c_1}{t_1} + {m_2}{c_2}{t_2} + {m_3}{c_3}{t_3}}}{{{m_1}{c_1} + {m_2}{c_2} + {m_3}{c_3}}}\\ = \dfrac{{2.2000.57 + 3.4000.63 + 4.3000.92}}{{2.2000 + 3.4000 + 4.3000}}\\ = 74,6\end{array}\)

 Vậy nhiệt độ hỗn hợp khi cân bằng là: \({t_{cb}} = 74,{6^0}C\)

* Cách 2:

Gọi nhiệt độ của hỗn hợp khi cân bằng nhiệt là \({t_{cb}}\)

Áp dụng công thức: \({Q_1} + {Q_2} + {Q_3} + ... + {Q_n} = 0\) (1)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{Q_1} = {m_1}{c_1}\left( {{t_{cb}} - {t_1}} \right)\\{Q_2} = {m_2}{c_2}\left( {{t_{cb}} - {t_2}} \right)\\{Q_3} = {m_3}{c_3}\left( {{t_{cb}} - {t_3}} \right)\end{array} \right.\) 

Thay vào (1), ta được:

\(\begin{array}{l}{m_1}{c_1}\left( {{t_{cb}} - {t_1}} \right) + {m_2}{c_2}\left( {{t_{cb}} - {t_2}} \right) + {m_3}{c_3}\left( {{t_{cb}} - {t_3}} \right) = 0\\ \to {t_{cb}} = \dfrac{{{m_1}{c_1}{t_1} + {m_2}{c_2}{t_2} + {m_3}{c_3}{t_3}}}{{{m_1}{c_1} + {m_2}{c_2} + {m_3}{c_3}}}\\ = \dfrac{{2.2000.57 + 3.4000.63 + 4.3000.92}}{{2.2000 + 3.4000 + 4.3000}}\\ = 74,6\end{array}\)

Vậy nhiệt độ hỗn hợp khi cân bằng là: \({t_{cb}} = 74,{6^0}C\)

Ta có: Sự truyền nhiệt xảy ra cho đến khi nhiệt độ của 2 vật cân bằng nhau thì ngừng lại.

=> Nhiệt độ cuối cùng của ba miếng bằng nhau.

Nhiệt độ khi cân bằng là \(t = {30^0}C\)

Kim loại: \(\left\{ \begin{array}{l}{m_1} = 350g = 0,35kg\\{c_1}\\{t_1} = {100^0}C\end{array} \right.\)

Nước: \(\left\{ \begin{array}{l}{m_2} = 450g = 0,45kg\\{c_2} = 4200J/kg.K\\{t_2} = {22^0}C\end{array} \right.\)

+ Nhiệt lượng kim loại tỏa ra là: \({Q_1} = {m_1}{c_1}\left( {{t_1} - t} \right)\)

Nhiệt lượng nước thu vào là: \({Q_2} = {m_2}{c_2}\left( {t - {t_2}} \right)\)

+ Áp dụng phương trình cân bằng nhiệt, ta có:

\(\begin{array}{l}{Q_1} = {Q_2} \leftrightarrow {m_1}{c_1}\left( {{t_1} - t} \right) = {m_2}{c_2}\left( {t - {t_2}} \right)\\ \leftrightarrow 0,35.{c_1}.\left( {100 - 30} \right) = 0,45.4200\left( {30 - 22} \right)\\ \to {c_1} = 615,6\end{array}\)

Vậy nhiệt độ khi cân bằng là \({c_1} = 615,5J/kg.K\)

Nhiệt độ khi cân bằng là \(t = {17^0}C\)

Miếng đồng: \(\left\{ \begin{array}{l}{m_1} = 200g = 0,2kg\\c\\{t_1} = {100^0}C\end{array} \right.\)

Nước: \(\left\{ \begin{array}{l}{m_2} = 738g = 0,738kg\\{c_2} = 4186J/kg.K\\{t_2} = {15^0}C\end{array} \right.\)

Nhiệt lượng kế bằng đồng: \(\left\{ \begin{array}{l}{m_3} = 100g = 0,1kg\\c\\{t_3} = {15^0}C\end{array} \right.\)

+ Nhiệt lượng đồng tỏa ra là: \({Q_1} = {m_1}c\left( {{t_1} - t} \right)\)

Nhiệt lượng nước thu vào là: \({Q_2} = {m_2}{c_2}\left( {t - {t_2}} \right)\)

Nhiệt lượng nhiệt lượng kế đồng thu vào là: \({Q_3} = {m_3}c\left( {t - {t_3}} \right)\)

+ Áp dụng phương trình cân bằng nhiệt, ta có:

\(\begin{array}{l}{Q_1} = {Q_2} + {Q_3} \leftrightarrow {m_1}c\left( {{t_1} - t} \right) = {m_2}{c_2}\left( {t - {t_2}} \right) + {m_3}c\left( {t - {t_3}} \right)\\ \leftrightarrow 0,2.c.\left( {100 - 17} \right) = 0,738.4186.\left( {17 - 15} \right) + 0,1.c.(17 - 15)\\ \to c = 376,74\end{array}\)

Vậy nhiệt độ khi cân bằng là \(c = 376,74J/kg.K\)

Khối lượng hợp kim là \(100g \Rightarrow {m_{chi}} + {m_{kem}} = 100g = 0,1kg(1)\)

Chì : \(\left\{ \begin{array}{l}{m_{chi}}\\{c_1} = 130J/kg.K\\{t_1} = {120^0}C\end{array} \right.\)

Kẽm: \(\left\{ \begin{array}{l}{m_{kem}}\\{c_2} = 390J/kg.K\\{t_2} = {120^0}C\end{array} \right.\)

Nước: \(\left\{ \begin{array}{l}{m_3} = 78g = 0,078kg\\{c_3} = 4200J/kg.K\\{t_3} = {15^0}C\end{array} \right.\)

Nhiệt độ khi có cân bằng nhiệt là \(t = {22^0}C\)

+ Nhiệt lượng chì tỏa ra là: \({Q_1} = {m_{chi}}{c_1}\left( {{t_1} - t} \right)\)

Nhiệt lượng kẽm tỏa ra là: \({Q_2} = {m_{ke{\rm{m}}}}{c_2}\left( {{t_2} - t} \right)\)

Nhiệt lượng nước thu vào là: \({Q_3} = {m_3}{c_3}\left( {t - {t_3}} \right)\)

+ Áp dụng phương trình cân bằng nhiệt, ta có:

\(\begin{array}{l}{Q_1} + {Q_2} = {Q_3} \leftrightarrow {m_{chi}}{c_1}\left( {{t_1} - t} \right) + {m_{kem}}{c_2}\left( {{t_2} - t} \right) = {m_3}{c_3}\left( {t - {t_3}} \right)\\ \Leftrightarrow {m_{chi}}.130.(120 - 22) + {m_{kem}}.390.(120 - 22) = 0,078.4200.(22 - 15)\\ \Leftrightarrow 12740{m_{chi}} + 38220{m_{kem}} = 2293,2(2)\end{array}\)

Từ (1) và (2)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m_{chi}} + {m_{kem}} = 0,1\\12740{m_{chi}} + 38220{m_{kem}} = 2293,2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m_{chi}} = 0,06kg = 60g\\{m_{kem}} = 0,04kg = 40g\end{array} \right.\end{array}\)

+ Nhiệt lượng nước tỏa ra:

\(Q = m.c.\Delta t = 0,18.4200.\left( {54,6 - 36,6} \right) = 13\,608J = 13,608kJ\)

Vậy nhiệt lượng mà cơ thể ta hấp thụ vào là 13,6kJ.

Nhiệt lượng cung cấp để đun sôi nước:

\({Q_{ci}} = m.c.\Delta t = 2.4200.80 = 672000J\)

Hiệu suất của bếp: \(H = \dfrac{{{Q_{ci}}}}{Q} \Rightarrow Q = \dfrac{{{Q_{ci}}}}{H}\)

Nhiệt lượng tỏa trên bếp: \(Q = \dfrac{{{Q_{ci}}}}{H} = \dfrac{{672000}}{{0,8}} = 840000J\)

Thời gian đun: \(t = \dfrac{A}{P} = \dfrac{Q}{P} = \dfrac{{840000}}{{1000}} = 840s\)

Cách giải :

Gọi t là nhiệt độ cân bằng

Nhiệt lượng đồng toả ra :

\({Q_{toa}} = {m_1}{c_1}\Delta {t_1} = 0,6.380.\left( {85 - t} \right) = 228.\left( {85 - t} \right)\)

Nhiệt lượng do nước thu vào :

\({Q_{thu}} = {m_2}{c_2}\Delta {t_2} = 0,35.4200.\left( {t - 20} \right) = 1470.\left( {t - 20} \right)\)

Áp dụng phương trình cân bằng nhiệt ta có :

\({Q_{toa}} = {Q_{thu}} \Leftrightarrow 228.\left( {85 - t} \right) = 1470.\left( {t - 20} \right) \Rightarrow t = 28,{7^0}C\)

Tóm tắt:

Khối lượng chì: m₁ = 300g = 0,3kg; t₁ = 100⁰C

Khối lượng nước: m₂ = 250g = 0,25kg; t₂ = 58,5⁰C ; c₂ = 4200J/kg.K;

Nước nóng lên tới: t₀ = 60⁰C 

a) Nhiệt độ của chì khi xảy ra cân bằng nhiệt?       

b) Q₂ = ? (J)

c) c₁ = ? (J/kg.K)

Lời giải:

a) Sau khi thả chì ở 100⁰C vào nước ở 58,5⁰C làm nước nóng lên đến 60⁰C. Thì 60⁰C chính là nhiệt độ cân bằng của hệ hai chất đã cho. Đây cũng chính là nhiệt độ của chì sau khi đã xảy ra cân bằng nhiệt.

b) Nhiệt lượng của nước đã thu vào để tăng nhiệt độ từ 58,5⁰C đến 60⁰C là:

\({Q_2} = {m_2}.{c_2}.\left( {{t_0} - {t_2}} \right) = 0,25.4200.\left( {60 - 58,5} \right) = 1575\,\,\,\left( J \right)\)

c) Nhiệt lượng của chì đã toả ra khi hạ nhiệt độ từ 100⁰C xuống 60⁰C là:

\({Q_1} = {m_1}.{c_1}.\left( {{t_1} - {t_0}} \right) = 0,3.{c_1}.\left( {100 - 60} \right) = 12.{c_1}\,\,\,\left( J \right)\)

Theo phương trình cân bằng nhiệt Q_toả = Q_thu .

Suy ra:

\({Q_1} = {Q_2} \Leftrightarrow 1575 = 12.{c_1} \Rightarrow {c_1} = \frac{{1575}}{{12}} = 131,25{\rm{ }}\,\left( {J/kg.K{\rm{ }}} \right)\)

Đáp số:

a)  60⁰C

b) 1575 J

c) 131,25 J/kg.K