Đề số 1
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức 
a, Rút gọn biểu thức
b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản.
Câu 2: (1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số 
sao cho 
và 
Câu 3: (2 điểm)
a. Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương
b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số.
Câu 4: (2 điểm)
a. Cho a, b, n ∈ N* Hãy so sánh 
và 
b. Cho A = 
; B = 
. So sánh A và B.
Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a1, a2, ....., a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10.
Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng.
Đáp án đề số 1
Câu 1:
a) Ta có: 
= 
Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm).
Rút gọn đúng cho 0,75 điểm.
b. Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 (0,25đ).
Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ
Mặt khác, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] 
d
Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. (0,5đ)
Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm)
Câu 2:
= 100a + 10 b + c = n2 - 1 (1)
= 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4 (2) (0,25đ)
Từ (1) và (2) 
99(a – c) = 4 n – 5 
4n – 5 
99 (3) (0,25đ)
Mặt khác: 100 
n2-1
999 
101
n2
1000 
11
n
31 
39
4n – 5
119 (4) ( 0,25đ)
Từ (3) và (4) 
4n – 5 = 99 
n = 26
Vậy: 
= 675 ( 0,25đ)
Câu 3: (2 điểm)
a) Giả sử n2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a∈ Z)
a2 – n2 = 2006
(a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm).
+ Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm).
+ Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n)
2 và (a+n) 
2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) (0,25 điểm).
Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,25 điểm).
b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3.
Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3.
Vậy n2 + 2006 là hợp số. ( 1 điểm).
Bài 4: Mỗi câu đúng cho 1 điểm
a) Ta xét 3 trường hợp 
; 
; 
(0,5đ).
TH 1: 
a = b thì 
. (0,5đ).
TH 2: 
a > b 
a + n > b+ n.
Mà 
có phần thừa so với 1 là 
có phần thừa so với 1 là 
,
vì 
nên 
(0,25đ).
TH3: 
a < b 
a + n < b + n.
Khi đó 
có phần bù tới 1 là 
, 
có phần bù tới 1 là 
,
vì 
nên 
(0,25đ).
b) Cho A = 
;
rõ ràng A < 1 nên theoa, nếu 
<1 thì 
> 
⇒ A< 
(0,5đ).
Do đó A< 
= 
(0,5điểm).
Vây A < B.
Bài 5: Lập dãy số .
Đặt B1 = a1.
B2 = a1 + a2 .
B3 = a1 + a2 + a3
...................................
B10 = a1 + a2 + ... + a10 .
Nếu tồn tại Bi ( i= 1,2,3...10). nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh. ( 0,25 điểm).
Nếu không tồn tại Bi nào chia hết cho 10 ta làm như sau:
Ta đem Bi chia cho 10 sẽ được 10 số dư ( các số dư ∈ { 1,2.3...9}).
Theo nguyên tắc Diriclê, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số Bm -Bn, chia hết cho 10 ( m>n)
⇒ ĐPCM.
Bài 6:Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng
⇒ có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần
⇒ số giao điểm thực tế là: (2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm.
