Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \((\alpha ):2x + y - 2z - 2 = 0,\) đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{2}\) và điểm \(A\left( {\dfrac{1}{2};\,\,1;\,\,1} \right).\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng nằm trong mặt phẳng \((\alpha ),\) song song với \(d\) đồng thời cách \(d\) một khoảng bằng \(3.\) Đường thẳng \(\Delta \) cắt mặt phẳng \((Oxy)\) tại điểm \(B.\) Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Dễ thấy $d//\left( \alpha \right)$ và $\left( { - \,1; - \,2; - \,3} \right) \in \left( \alpha \right)$$ \Rightarrow \,\,d \subset \left( \alpha \right).$
Ta có $B = \Delta \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow B\left( {a;b;0} \right)$ mà $B \in \Delta \subset \left( \alpha \right)$$ \Rightarrow \,\,2a + b - 2 = 0 \Rightarrow b = 2 - 2a$
Lại có $d$//$\Delta $$ \Rightarrow \,\,d\left( {\left( d \right);\left( \Delta \right)} \right) = d\left( {B;\left( d \right)} \right) = 3.$ Đường thẳng $d$ đi qua $M\left( {0;0; - \,1} \right),$ có ${\vec u_d} = \left( {1;2;2} \right).$
\(\overrightarrow {BM} = \left( { - a; - b; - 1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BM} ;\overrightarrow u } \right] = \left( { - 2b + 2; - 1 + 2a; - 2a + b} \right)\)
Do đó
$\begin{array}{l}d\left( {B;\left( d \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BM} ;{{\vec u}_d}} \right]} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_d}} \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {2b - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2a} \right)}^2} + {{\left( {2a - b} \right)}^2}} }}{3} = 3\\ \Leftrightarrow {\left( {2b - 2} \right)^2} + {\left( {1 - 2a} \right)^2} + {\left( {2a - b} \right)^2} = 81 \Leftrightarrow {\left( {2 - 4a} \right)^2} + {\left( {1 - 2a} \right)^2} + {\left( {4a - 2} \right)^2} = 81\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - 2a} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 2a = 3\\1 - 2a = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 1\\a = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 1;4;0} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2; - 2;0} \right)\end{array} \right.\end{array}$
Vậy $AB = \dfrac{7}{2}.$
Hướng dẫn giải:
+) Kiểm tra \(d \subset \left( \alpha \right)\)
+) Gọi $B = \Delta \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow B\left( {a;b;0} \right) \Rightarrow B \in \left( \alpha \right),$ thay tọa độ điểm B vào phương trình \(\left( \alpha \right) \Rightarrow \) 1 phương trình 2 ẩn a, b.
+) $d//\Delta \Rightarrow d\left( {\left( d \right);\left( \Delta \right)} \right) = d\left( {B;\left( d \right)} \right) = 3.$ Sử dụng công thức tính khoảng cách $d\left( {B;\left( d \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BM} ;{{\vec u}_d}} \right]} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_d}} \right|}}$ , lập được 1 phương trình 2 ẩn chứa a, b.
+) Giải hệ phương trình tìm a, b \( \Rightarrow \) Tọa độ điểm B \( \Rightarrow \) Độ dài AB.
