Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A(10;\,\,6;\,\, - 2),\) \(B(5;\,\,10;\,\, - 9)\) và mặt phẳng \((\alpha ):2x + 2y + z - 12 = 0.\) Điểm \(M\) di động trên mặt phẳng \((\alpha )\) sao cho \(MA,\,\,MB\) luôn tạo với \((\alpha )\) các góc bằng nhau. Biết rằng \(M\) luôn thuộc một đường tròn \((\omega )\) cố định. Hoành độ của tâm đường tròn \((\omega )\) bằng

Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$$ \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AM}  = \left( {x - 10;y - 6;z + 2} \right);\,\,\overrightarrow {BM}  = \left( {x - 5;y - 10;z + 9} \right)$

Gọi $H,\,\,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,\,\,B$ lên $\left( \alpha  \right),$ có $\widehat {AMH} = \widehat {BMK}.$

\(AH = d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.10 + 2.6 - 2 - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 6;\,\,BK = d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.5 + 2.10 - 9 - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 3\)

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}\sin \widehat {AMH} = \dfrac{{AH}}{{MA}}\\\sin \widehat {BMK} = \dfrac{{BK}}{{MB}}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{MA}} = \dfrac{{BK}}{{MB}} \Rightarrow MA = 2\,MB \Leftrightarrow M{A^2} = 4M{B^2}.$

Suy ra ${\left( {x - 10} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\left[ {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + {{\left( {y - 10} \right)}^2} + {{\left( {z + 9} \right)}^2}} \right]$

$ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \dfrac{{20}}{3}x - \dfrac{{68}}{3}y + \dfrac{{68}}{3}z + 228 = 0 \Leftrightarrow \left( S \right):{\left( {x - \dfrac{{10}}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{{34}}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \dfrac{{34}}{3}} \right)^2} = 40$ có tâm \(I\left( {\dfrac{{10}}{3};\dfrac{{34}}{3};\dfrac{{ - 34}}{3}} \right)\).

Vậy $M \in \left( C \right)$ là giao tuyến của $\left( \alpha  \right)$ và $\left( S \right) \Rightarrow $ Tâm K của \(\left( C \right)\) là hình chiếu của \(I\left( {\dfrac{{10}}{3};\dfrac{{34}}{3};\dfrac{{ - 34}}{3}} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua I à vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\) có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{10}}{3} + 2t\\y = \dfrac{{34}}{3} + 2t\\z =  - \dfrac{{34}}{3} + t\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow K\left( {\dfrac{{10}}{3} + 2t;\dfrac{{34}}{3} + 2t; - \dfrac{{34}}{3} + t} \right),\,\,K \in \left( \alpha  \right) \Rightarrow 2\left( {\dfrac{{10}}{3} + 2t} \right) + 2\left( {\dfrac{{34}}{3} + 2t} \right) + \left( { - \dfrac{{34}}{3} + t} \right) - 12 = 0\\ \Leftrightarrow 9t + 6 = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{2}{3} \Rightarrow K\left( {2;10; - 12} \right) \Rightarrow {x_K} = 2\end{array}\)