Tìm tất cả những giá trị thực của \(m\) để bất phương trình sau có nghiệm với mọi \(x\) thuộc tập xác định. \(\sqrt[4]{{2x}} + \sqrt {2x}  + 2\sqrt[4]{{6 - x}} + 2\sqrt {6 - x}  > m\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[4]{{2x}} + \sqrt {2x}  + 2\sqrt[4]{{6 - x}} + 2\sqrt {6 - x} \) trên đoạn \(\left[ {0;\,\,6} \right]\)

Ta có \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt[4]{{{{\left( {2x} \right)}^3}}}}} - \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{{{\left( {6 - x} \right)}^3}}}}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {2x} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {6 - x} }}} \right)\)

\( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt[4]{{2x}}}} - \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{6 - x}}}}} \right)\left[ {\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt[4]{{{{\left( {2x} \right)}^2}}}}} + \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{{{\left( {6 - x} \right)}^2}}}}} + \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{2x\left( {6 - x} \right)}}}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt[4]{{2x}}}} + \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{6 - x}}}}} \right)} \right]\)

Vì \(\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt[4]{{{{\left( {2x} \right)}^2}}}}} + \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{{{\left( {6 - x} \right)}^2}}}}} + \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{2x\left( {6 - x} \right)}}}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt[4]{{2x}}}} + \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{6 - x}}}}} \right) > 0,\,\,\forall x \in \left( {0;\,\,6} \right)\) nên

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{2x}}}} - \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{6 - x}}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

Mà \(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 6  + 2\sqrt[4]{6}\); \(f\left( 2 \right) = 3\sqrt 2  + 6\); \(f\left( 6 \right) = 2\sqrt 3  + \sqrt[4]{{12}}\)

Nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,\,6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 3\sqrt 2  + 6\) và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\,\,6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 6 \right) = \sqrt[4]{{12}} + 2\sqrt 3 \)

Khi đó để bất phương trình có nghiệm với mọi \(x \in \left[ {0;\,\,6} \right]\) thì \(m < \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\,\,6} \right]} f\left( x \right) \Leftrightarrow m < \sqrt[4]{{12}} + 2\sqrt 3 \).