Một sợi dây có chiều dài là \(6\,\,{\rm{m}}\), được chia thành hai phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích hai hình thu được là nhỏ nhất?
Trả lời bởi giáo viên
Gọi cạnh tam giác đều là $x$ khi đó chu vi tam giác đều là $3x$ và chu vi hình vuông là \(6 - 3x\)
Cạnh hình vuông có độ dài là \(\dfrac{{6 - 3x}}{4},\)\(\left( {0 < x < 2} \right)\)
Tổng diện tích hình tam giác đều và hình vuông là
\(S = \dfrac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} + {\left( {\dfrac{{6 - 3x}}{4}} \right)^2} = \dfrac{{\left( {4\sqrt 3 + 9} \right){x^2} - 36x + 36}}{{16}} = f\left( x \right)\)
Khảo sát hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left( {0 < x < 2} \right)\) ta thấy \({S_{\min }} \Leftrightarrow x = \dfrac{{18}}{{4\sqrt 3 + 9}}.\)
Hướng dẫn giải:
- Đặt cạnh tam giác là \(x\) suy ra cạnh hình vuông
- Viết biểu thức tính tổng diện tích tam giác và hình vuông theo biến \(x\)
- Xét hàm số diện tích tìm GTNN và kết luận.