Tìm $m$ để hàm số $y = \dfrac{{2\cot x + 1}}{{\cot x + m}}$ đồng biến trên khoảng $\left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)$?

Đặt $t = \cot x$, $x \in \left[ {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right]$ $\Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)$.

Xét hàm số $f\left( t \right) = \dfrac{{2t + 1}}{{t + m}}$ trên khoảng $\left( {0;\,\,1} \right)$,$t \ne  - m$.

Ta có $f'\left( t \right) = \dfrac{{2m - 1}}{{{{\left( {t + m} \right)}^2}}}$, $\forall t \in \left( {0;1} \right)$,$t \ne  - m$.

Khi đó để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( {\dfrac{\pi }{4};\,\,\dfrac{\pi }{2}} \right)$ thì $f\left( t \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;\,\,1} \right)$ (vì $t' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}} < 0,\,$$\forall x \in \left( {\dfrac{\pi }{4};\,\,\dfrac{\pi }{2}} \right)$ $\Leftrightarrow f'\left( t \right) < 0,$$\forall t \in \left( {0;\,\,1} \right)$,$t \ne  - m$).

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}2m - 1 < 0\\ - m \notin \left( {0;\,1} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l} - m \le 0\\ - m \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \le  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le  - 1\\0 \le m < \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$.