Tìm \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{2\cot x + 1}}{{\cot x + m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)\)?

Đặt \(t = \cot x\), \(x \in \left[ {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) \( \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{2t + 1}}{{t + m}}\) trên khoảng \(\left( {0;\,\,1} \right)\),\(t \ne  - m\).

Ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{{2m - 1}}{{{{\left( {t + m} \right)}^2}}}\), \(\forall t \in \left( {0;1} \right)\),\(t \ne  - m\).

Khi đó để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{4};\,\,\dfrac{\pi }{2}} \right)\) thì \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\,\,1} \right)\) (vì \(t' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}} < 0,\,\)\(\forall x \in \left( {\dfrac{\pi }{4};\,\,\dfrac{\pi }{2}} \right)\) \( \Leftrightarrow f'\left( t \right) < 0,\)\(\forall t \in \left( {0;\,\,1} \right)\),\(t \ne  - m\)).

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2m - 1 < 0\\ - m \notin \left( {0;\,1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l} - m \le 0\\ - m \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \le  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le  - 1\\0 \le m < \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).