Cho các số thực dương \(x\), \(y\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{4x{y^2}}}{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 4{y^2}} } \right)}^3}}}\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(f\left( {\sin x} \right) = m\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) là

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) cắt trục \(Ox\) tại ba điểm có hoành độ \(a < b < c\) như hình vẽ.

Khẳng định nào dưới đây có thể xảy ra?

Một sợi dây có chiều dài là \(6\,\,{\rm{m}}\), được chia thành hai phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích hai hình thu được là nhỏ nhất?

Cho \(x\), \(y\) là các số thực thỏa mãn \(x + y = \sqrt {x - 1}  + \sqrt {2y + 2} \). Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(P = {x^2} + {y^2} + 2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) + 8\sqrt {4 - x - y} \). Tình giá trị \(M + m\).

Tìm \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{2\cot x + 1}}{{\cot x + m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)\)?

Hàm số \(f\left( x \right) = \left| {8{x^4} - 8{x^2} + 1} \right|\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ { - 1;\,\,1} \right]\) tại bao nhiêu giá trị của \(x\)?