Cho \(x\), \(y\) là các số thực thỏa mãn \(x + y = \sqrt {x - 1} + \sqrt {2y + 2} \). Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(P = {x^2} + {y^2} + 2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) + 8\sqrt {4 - x - y} \). Tình giá trị \(M + m\).
Trả lời bởi giáo viên
Đk: \(x \ge 1;y \ge - 1\). Đặt \(t = x + y\); \(t \ge 0\).
Có \(\sqrt {x - 1} + \sqrt {2y + 2} = \sqrt {x - 1} + \sqrt 2 .\sqrt {y + 1} \le \sqrt {3\left( {x + y} \right)} \Rightarrow x + y \le \sqrt {3\left( {x + y} \right)} \).
Vậy \(t \le \sqrt {3t} \Leftrightarrow {t^2} - 3t \le 0 \Leftrightarrow 0 \le t \le 3\).
\(P = {\left( {x + y} \right)^2} + 2\left( {x + y} \right) + 2 + 8\sqrt {4 - \left( {x + y} \right)} \) nên \(P = {t^2} + 2t + 2 + 8\sqrt {4 - t} \)
\(P' = 2t + 2 - \dfrac{4}{{\sqrt {4 - t} }}\)
\(P' = 0 \Leftrightarrow \left( {2t + 2} \right)\sqrt {4 - t} = 4\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 1 \pm 2\sqrt 2 \notin \left[ {0;3} \right]\end{array} \right.\).
\(P\left( 0 \right) = 18;\)\(P\left( 3 \right) = 25\).
Suy ra $M = 25;m = 18$\( \Rightarrow M + m = 43\).
Hướng dẫn giải:
- Đặt \(t = x + y\) và tìm điều kiện của \(t\) dựa vào đẳng thức \(x + y = \sqrt {x - 1} + \sqrt {2y + 2} \) (sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki)
- Viết lại \(P\) theo \(t\) và xét hàm số \(P\left( t \right)\) tìm \(\max ,\min \)