Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {{x^2} + x + 1} \right)^x} < 1$ là:

${\left( {{x^2} + x + 1} \right)^x} < 1$

Lấy loganepe hai vế ta có $\ln {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^x} < \ln 1\,\,\left( * \right)$

Vì ${x^2} + x + 1 = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow x\ln \left( {{x^2} + x + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\ln \left( {{x^2} + x + 1} \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\ln \left( {{x^2} + x + 1} \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} + x + 1 > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} + x + 1 < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} + x > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} + x < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 0\\x <  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\ - 1 < x < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x <  - 1$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { - \infty ; - 1} \right)$.