Tập hợp $S$ tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình${2^{{{(x - 1)}^2}}}.{\log _2}({x^2} - 2x + 3) = {4^{\left| {x - m} \right|}}.{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)$ có đúng ba nghiệm phân biệt là

Ta có: ${2^{{{(x - 1)}^2}}}.{\log _2}({x^2} - 2x + 3) = {4^{\left| {x - m} \right|}}.{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)$

$ \Leftrightarrow {2^{{{(x - 1)}^2}}}.{\log _2}({(x - 1)^2} + 2) = {2^{2\left| {x - m} \right|}}.{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)$  (1)

Xét hàm số $y = f(t) = {2^t}.{\log _2}(t + 2)$ trên $\left[ {0; + \infty } \right)$:

$f'(t) = {2^t}\ln 2.{\log _2}(t + 2) + {2^t}.\dfrac{1}{{\ln 2.(t + 2)}} > 0,\,\,\forall t \ge 0 \Rightarrow $Hàm số đồng biến trên $\left[ {0; + \infty } \right)$

Phương trình $(1) \Leftrightarrow f\left( {{{(x - 1)}^2}} \right) = f\left( {2\left| {x - m} \right|} \right)$$ \Leftrightarrow {(x - 1)^2} = 2\left| {x - m} \right|\,\,\left( 2 \right)$

Thử đáp án:

+) Nếu \(m = 1\) thì \(\left( 2 \right)\) trở thành \({\left( {x - 1} \right)^2} = 2\left| {x - 1} \right|\)

Nếu \(x \ge 1\) thì \({\left( {x - 1} \right)^2} = 2\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {TM} \right)\\x = 3\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Nếu \(x < 1\) thì \({\left( {x - 1} \right)^2} =  - 2\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( L \right)\\x =  - 1\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Do đó \(\left( 2 \right)\) có \(3\) nghiệm phân biệt nên \(m = 1\) thỏa bài toán.

+) Nếu \(m = \dfrac{1}{2}\) thì \(\left( 2 \right)\) trở thành \({\left( {x - 1} \right)^2} = 2\left| {x - \dfrac{1}{2}} \right|\)

Nếu \(x \ge \dfrac{1}{2}\) thì \({\left( {x - 1} \right)^2} = 2\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 2 \left( {TM} \right)\\x = 2 - \sqrt 2 \left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Nếu \(x < \dfrac{1}{2}\) thì \({\left( {x - 1} \right)^2} =  - 2\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\left( {TM} \right)\)

Do đó \(m = \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn bài toán.

+) Nếu \(m = \dfrac{3}{2}\) thì \(\left( 2 \right)\) trở thành \({\left( {x - 1} \right)^2} = 2\left| {x - \dfrac{3}{2}} \right|\)

Nếu \(x \ge \dfrac{3}{2}\) thì \({\left( {x - 1} \right)^2} = 2\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\left( {TM} \right)\)

Nếu \(x < \dfrac{3}{2}\) thì \({\left( {x - 1} \right)^2} =  - 2\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right) \Leftrightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 \left( {TM} \right)\)

Do đó \(m = \dfrac{3}{2}\) thỏa mãn bài toán.

 Vậy các giá trị \(m = 1,m = \dfrac{1}{2},m = \dfrac{3}{2}\) đều thỏa mãn.