Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình\({\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} + m{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} - {2^{{x^2} - 1}} = 0\) có đúng hai nghiệm phân biệt?

\({\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} + m{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} - {2^{{x^2} - 1}} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^{{x^2}}} + m{\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{{x^2}}} - \dfrac{1}{2} = 0\)

Ta có \({\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^{{x^2}}}.{\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{{x^2}}} = {\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}.\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{{x^2}}} = 1\)

Đặt \({\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^{{x^2}}} = t\,\, \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{{x^2}}} = \dfrac{1}{t}\)\( \Rightarrow t = {\left( {\dfrac{2}{{3 + \sqrt 5 }}} \right)^{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^2} = {\log _{\frac{2}{{3 + \sqrt 5 }}}}t\), khi đó phương trình trở thành: \(t + m\dfrac{1}{t} - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} - \dfrac{1}{2}t + m = 0\,\) \( \Leftrightarrow 2{t^2} - t + 2m = 0\,\) \( \Leftrightarrow m = \dfrac{{t - 2{t^2}}}{2}\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow {x^2} > 0 \Leftrightarrow {\log _{\frac{2}{{3 + \sqrt 5 }}}}t > 0 \Leftrightarrow 0 < t < 1.\)

(ứng với mỗi nghiệm $t$ thỏa mãn $0<t<1$ thì ta có $2$ nghiệm $x$)

Do đó ta cần tìm $m$ để phương trình ẩn $t$ chỉ có $1$ nghiệm thuộc $(0;1)$.

Xét hàm \(f\left( t \right) = \dfrac{{t - 2{t^2}}}{2}\) có \(f'\left( t \right) = \dfrac{{1 - 4t}}{2} = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{4}\)

Bảng biến thiên:

Vậy \( - \dfrac{1}{2} < m \le 0\) hoặc \(m = \dfrac{1}{{16}}\)