Câu hỏi:
2 năm trước
Cho $f(x) = a.\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + b.{x^{2017}} + 2018$ với $a,b \in R$. Biết rằng $f\left( {\log \left( {\log e} \right)} \right) = 2019$. Tính giá trị của $f\left( {\log \left( {\ln 10} \right)} \right)$.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Đặt $g(x) = f(x) - 2018 = a.\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + b.{x^{2017}}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow g( - x) = a.\ln \left( { - x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - b.{x^{2017}} = a.\ln \left( {\dfrac{1}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}} \right) - b.{x^{2017}} = - a.\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - b.{x^{2017}} = - g(x)\\ \Rightarrow f( - x) - 2018 = - \left( {f(x) - 2018} \right) \Leftrightarrow f( - x) = - f(x) + 4036\end{array}$
Ta có:
$\begin{array}{l}f\left( {\log \left( {\ln 10} \right)} \right) = f\left( {\log \left( {\dfrac{{\log 10}}{{\log e}}} \right)} \right) = f\left( {\log \left( {\dfrac{1}{{\log e}}} \right)} \right) = f\left( { - \log \left( {\log e} \right)} \right) = - f\left( {\log \left( {\log e} \right)} \right) + 4036\\ = - 2019 + 4036 = 2017\end{array}$
Hướng dẫn giải:
- Đặt $g(x) = f(x) - 2018 = a.\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + b.{x^{2017}}$ rồi xét tính chẵn lẻ của hàm số \(y = g\left( x \right)\)
- Tính giá trị của $f\left( {\log \left( {\ln 10} \right)} \right)$ để ý $f\left( {\log \left( {\ln 10} \right)} \right) = f\left( { - \log \left( {\log e} \right)} \right)$
