Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ để phương trình \({9^{1 + x}} + {9^{1 - x}} = \left( {m + 2} \right)\left( {{3^{2 + x}} - {3^{2 - x}}} \right) + 45 - 27m\) có nghiệm trên \(\left[ {0;1} \right]\)

Đặt \(t = {3^{1 + x}} - {3^{1 - x}} = f\left( x \right),\forall x \in \left[ {0;1} \right]\) ta có \(f'\left( x \right) = {3^{1 + x}}\ln 3 + {3^{1 - x}}\ln 3 > 0\)

\( \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\), \( \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0 \le f\left( x \right) \le f\left( 1 \right) = 8 \Rightarrow f\left( x \right) \in \left[ {0;8} \right]\)  hay \(t \in \left[ {0;8} \right]\) 

Ta có \({t^2} = {9^{1 + x}} + {9^{1 - x}} - {2.3^{1 + x + 1 - x}} = {9^{1 + x}} + {9^{1 - x}} - 18 \Leftrightarrow {9^{1 + x}} + {9^{1 - x}} = {t^2} + 18\)

Khi đó phương trình trở thành \({t^2} + 18 = 3\left( {m + 2} \right)t + 45 - 27m\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} - 3\left( {m + 2} \right)t + 27m - 27 = 0\,\,\forall t \in \left[ {0;8} \right]\\ \Leftrightarrow {t^2} - 6t - 27 - 3m\left( {t - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 9} \right)\left( {t + 3} \right) - 3m\left( {t - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 9} \right)\left( {t + 3 - 3m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 9 \notin \left[ {0;8} \right]\\t = 3m - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Đề phương trình ban đầu có nghiệm \(x \in \left[ {0;1} \right]\) thì phương trình (*) có nghiệm \(t \in \left[ {0;8} \right]\) thì

\(0 \le 3m - 3 \le 8 \Leftrightarrow 1 \le m \le \dfrac{{11}}{3}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{m \in Z} m \in \left\{ {1;2;3} \right\}\)

Vậy có $3$ giá trị $m$ nguyên để phương trình ban đầu có nghiệm thuộc $[0; 1]$