Phương trình: \(4{\cos ^2}\dfrac{x}{2} - \sqrt 3 \cos 2x = 1 + 2{\cos ^2}\left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)?

Bước 1:

\(4{\cos ^2}\dfrac{x}{2} - \sqrt 3 \cos 2x\)\( = 1 + 2{\cos ^2}\left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {1 + \cos x} \right) - \sqrt 3 \cos 2x\)\( = 1 + 1 + \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 + 2\cos x - \sqrt 3 \cos 2x = 2 + \sin 2x\\ \Leftrightarrow 2\cos x = \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x\end{array}\)

Bước 2:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\ \Leftrightarrow \cos x = \cos 2x\cos \dfrac{\pi }{6} + \sin 2x\sin \dfrac{\pi }{6}\\ \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \dfrac{\pi }{6} = x + k2\pi \\2x - \dfrac{\pi }{6} =  - x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Xét \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \) thuộc \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 0 < \dfrac{\pi }{6} + k2\pi  < \dfrac{\pi }{2}\)\( \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{12}} < k < \dfrac{1}{6}\)

Vì k nguyên nên \(k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{6}\)

Xét \(x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\) thuộc \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 0 < \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3} < \dfrac{\pi }{2}\)\( \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{12}} < k < \dfrac{2}{3}\)

Vì k nguyên nên \(k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{{18}}\)

Vậy các nghiệm của phương trình thuộc \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) là \(\left\{ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{{18}}} \right\}\).