Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên \(n\) có 4 chữ số thỏa mãn \({\left( {{2^n} + {3^n}} \right)^{2020}} < {\left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)^n}\). Số phần tử của \(S\) là:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {{2^n} + {3^n}} \right)^{2020}} < {\left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)^n}\\ \Leftrightarrow \ln {\left( {{2^n} + {3^n}} \right)^{2020}} < \ln {\left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)^n}\\ \Leftrightarrow 2020\ln \left( {{2^n} + {3^n}} \right) < n\ln \left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\ln \left( {{2^n} + {3^n}} \right)}}{n} < \dfrac{{\ln \left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)}}{{2020}}\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( x \right) = \dfrac{{\ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}{x}\,\,\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{\dfrac{{\left( {{2^x} + {3^x}} \right)'}}{{{2^x} + {3^x}}}.x - \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}{{{x^2}}}\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {{2^x}\ln 2 + {3^x}\ln 3} \right)x - \left( {{2^x} + {3^x}} \right).\ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}{{{x^2}\left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}\ln 2.x - {2^x}\ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right) + {3^x}\ln 3.x - {3^x}\ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}{{{x^2}\left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}\left( {x\ln 2 - \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)} \right) + {3^x}\left( {x\ln 3 - \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)} \right)}}{{{x^2}\left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}\left[ {\ln {2^x} - \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)} \right] + {3^x}\left[ {\ln {3^x} - \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)} \right]}}{{{x^2}\left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{2^x} < {2^x} + {3^x} \Rightarrow \ln {2^x} < \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)\\{3^x} < {2^x} + {3^x} \Rightarrow \ln {3^x} < \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)\end{array} \right.\)  \( \Rightarrow f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \({\mathbb{N}^*}\).

Lại có: \(f\left( n \right) < f\left( {2020} \right) \Leftrightarrow n > 2020\).

Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(2020 < n \le 9999,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy có \(\dfrac{{9999 - 2021}}{1} + 1 = 7979\) giá trị của \(n\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.