Xét khối tứ diện $ABCD$ có cạnh $AD, BC$ thỏa mãn $A{B^2} + C{D^2} = 18$ và các cạnh còn lại đều bằng $5.$ Biết thể tích của khối tứ diện $ABCD $ đạt giá trị lớn nhất có dạng ${V_{\max }} = \dfrac{{x\sqrt y }}{4};\,\,x,y \in {N^*};\,\,(x;y) = 1$. Khi đó, $x,\,y$ thỏa mãn bất đẳng thức nào dưới đây?

Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm $CD, AB$; độ dài các đoạn $AB = a,\,\,CD = b,\,\,a,b > 0,\,\,{a^2} + {b^2} = 18$

Tam giác $ACD$ và tam giác $ BCD$ cân tại $A, B$

$ \Rightarrow AI \bot CD,\,\,BI \bot CD \Rightarrow CD \bot (ABI)$

$ \Rightarrow {V_{ABCD}} = {V_{D.ABI}} + {V_{C.ABI}} $ $= \dfrac{1}{3}.DI.{S_{ABI}} + \dfrac{1}{3}.IC.{S_{ABI}} = \dfrac{1}{3}.CD.{S_{ABI}}$  (*)

Tam giác $AID$ vuông tại $I $ $ \Rightarrow AI = \sqrt {A{D^2} - I{D^2}}  = \sqrt {{5^2} - {{\left( {\dfrac{b}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {25 - \dfrac{{{b^2}}}{4}} $

Dễ dàng chứng minh $\Delta ACD = \Delta BCD\,\,(c.c.c) \Rightarrow IA = IB$  (Chiều cao tương ứng bằng nhau)

$ \Rightarrow \Delta IAB$ cân tại $I $ $ \Rightarrow IJ \bot AB$

Tam giác $AIJ$ vuông tại $J $ $ \Rightarrow IJ = \sqrt {A{I^2} - A\,{J^2}}  = \sqrt {25 - \dfrac{{{b^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \sqrt {25 - \dfrac{{{b^2} + {a^2}}}{4}}  = \sqrt {25 - \dfrac{{18}}{4}}  = \dfrac{{\sqrt {82} }}{2}$

Diện tích tam giác $IAB: $ ${S_{IAB}} = \dfrac{1}{2}.AB.IJ = \dfrac{1}{2}.a.\dfrac{{\sqrt {82} }}{2} = \dfrac{{a\sqrt {82} }}{4}$.

Thay vào (*):

$\begin{array}{l}{V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.b.\dfrac{{a\sqrt {82} }}{4} = \dfrac{{ab\sqrt {82} }}{{12}}\mathop  \le \limits^{Co\,si} \dfrac{{\sqrt {82} }}{{12}}.\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} = \dfrac{{\sqrt {82} }}{{12}}.\dfrac{{18}}{2} = \dfrac{{3\sqrt {82} }}{4} = \dfrac{{x\sqrt[{}]{y}}}{4};\,\,x,y \in {N^*};\,\,(x;y) = 1\\ \Rightarrow x = 3,\,\,y = 82\end{array}$

Kiểm tra các biểu thức của từng phương án, ta thấy phương án A là đúng.