Cho khối chóp $S.ABC$ có điểm $M$ và $N$ lần lượt nằm trên các cạnh $SA$ và $SB$ sao cho $\dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{1}{3},\,\dfrac{{SN}}{{SB}} = \dfrac{2}{3}$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua hai điểm $M, N$ và song song $SC$ chia khối chóp thành $2$ khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của khối đa diện có thể tích lớn hơn so với thể tích khối chóp $S.ABC.$
Trả lời bởi giáo viên
Trong mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) : kẻ $NI//SC,I \in BC$ .
Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ : kẻ $MJ//SC,J \in AC$ .
\( \Rightarrow \) Thiết diện của hình chóp cắt bởi $\left( \alpha \right)$ là $MNIJ$.
Ta tính tỉ số thế tích của khối đa diện $MNBIJA$ với khối chóp $S.ABC $:
Ta có:
$\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{N.MAJ}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}.d(N,\,(SAC)).\,{S_{AMJ}}}}{{\dfrac{1}{3}.d(B,(SAC)).{S_{SAC}}}} = \dfrac{{d(N,\,(SAC))}}{{d(B,\,(SAC))}}.\dfrac{{{S_{AMJ}}}}{{{S_{SAC}}}}\\ = \dfrac{{SN}}{{BS}}.\dfrac{{AM}}{{SA}}.\dfrac{{AJ}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{{27}} \Rightarrow {V_{N.MAJ}} = \dfrac{8}{{27}}{V_{S.ABC}}\,\,(1)\end{array}$
$\dfrac{{{V_{N.ABIJ}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}.d(N,(ABC)).{S_{ABIJ}}}}{{\dfrac{1}{3}.d(S,(ABC)).{S_{ABC}}}} = \dfrac{{d(N,(ABC))}}{{d(S,(ABC))}}.\dfrac{{{S_{ABIJ}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{NB}}{{SB}}.\dfrac{{{S_{ABIJ}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{7}{9} = \dfrac{7}{{27}}$ (vì $\dfrac{{{S_{CIJ}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{IC}}{{BC}}.\dfrac{{JC}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9}$ ).
$ \Rightarrow {V_{N.ABIJ}} = \dfrac{7}{{27}}{V_{S.ABC}}\,\,(2)$
Từ (1), (2) suy ra ${V_{N.AMJ}} + {V_{N.ABIJ}} = \left( {\dfrac{8}{{27}} + \dfrac{7}{{27}}} \right){V_{S.ABC}} \Leftrightarrow {V_{MNBIJA}} = \dfrac{5}{9}{V_{S.ABC}} \Rightarrow \dfrac{{{V_{MNBIJA}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{5}{9}$
Hướng dẫn giải:
- Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp, sử dụng định lý:
“Ba mặt phẳng cắt nhau đôi một theo ba giao tuyến, nếu hai giao tuyến bất kì không có điểm chung thì cả ba giao tuyến song song với nhau.”
- Phân chia khối đa diện thành các hình chóp.
- Tính thể tích các hình chóp đó theo thể tích khối chóp lớn \(S.ABC\) và suy ra kết luận.